Stetigkeit überprüfen

Question

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Ist $f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x_{1} x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, & \left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0), \\ 0, & \left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0),\end{array}\right.$ stetig in $(0,0) ?$

Ich würde das Epsilon Delta Kriterium anwenden.

Also x_0= (0,0), demnach ||x-x_0||= $\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ <δ. Das gilt. ||f(x1,x2)-f(x_0)|| = |f(x1,x2)|. Die Norm wird nun zum Betrag. Wie kann ich es nun gut mit δ abschätzen? Evtl. Cauchy Schwarz?

Comments

Berechne $f$ für den Fall $x_1=x_2$ und für den Fall $x_1=-x_2$. Und lass $x_2$ in beiden Fällen gegen 0 gehen.

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Eins reicht, weil f(0,0)=0 festgelegt ist.

Answer 1

Warum so kompliziert? Probiere ein paar Nullfolgen in $\R^2$ aus und dazu die Funktionswerte. Wogegen (wenn überhaupt) konvergieren die Funktionswerte?

Dann kommst Du sehr schnell darauf, dass $f$ in $(0,0)$ nicht stetig ist.

Comments

Ok, kann man auch links bzw. die rechtstetigkeit überprüfen und dann auf beidseitige Stetigkeit schließen, wenn die Bedingungen wahr sind, oder geht dies im Mehrdimensionalen nicht?

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Du willst es immer noch kompliziert? Es gibt kein links und rechts. Welche Folgen hast Du ausprobiert?

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ja ich hab jetzt die Folge "1/n" genommen und komm auf den Schluss das die Funktion nicht stetig ist. Nur noch eine Frage bezüglich der Anwendbarkeit der Definition. Also allgemein ist die Definition von Stetigkeit ja: f heißt an Stelle x_o stetig falls lim x→ x_o f(x) existiert und dieser Grenzwert =f(x_o). Kann man im Mehrdimensionalen auch mit dieser Definition arbeiten, oder bietet sich hier eher das Folgenkriterium eher an?

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1/n ist keine Folge in $\R^2$.

Die Def. in $\R$ und in $\R^2$ ist genau die gleiche. Und das was Du nennst, ist die Def. über Folgen (die andere wäre die mit $\varepsilon-\delta$).

Also, welche Folgen in $\R^2$ hast Du genommen, mit welchem Ergebnis? Bitte genaue Angaben (möchte sicherstellen, dass Du es richtig angewandt hast).

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Also ich habe gemeint lim n→∞ (1/n, 1/n) = (0,0) (hätte mich genauer ausdrücken sollen). Also haben wir unsere Nullfolge, jetzt setzen wir ein in unsere Funktion ein: lim n→∞ (1/n*1/n)/((1/n)²)*(1/n)²)) = 1/2. Jedoch ist f(0,0)≠1/2. Also ist die Funktion nicht stetig

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Gut. Auch gut aufgeschrieben. Schreib aber explizit $\lim f(\frac1n,\frac1n)=\lim ... =\frac12\neq f(0,0)$, damit der Bezug zur Folgenstetigkeit klar wird.

Du hast nun also Stetigkeit mit Angabe einer einzigen Folge widerlegt.

Wenn Du weiterdenken magst: Widerlege die stetige Ergänzbarkeit in (0,0). Dazu brauchst Du eine zweite Folge.

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Ok ich werds mal versuchen. Aber nur noch eine kleine Frage. Könnte man es auch mit der allgemeinen Definition hier so anschreiben: lim (x1,x2)→(0,0) f(x1,x2) = f(0,0). Ich mein hier würde mir diese Definition nicht viel bringen, aber wäre die Schreibweise korrekt oder unüblich

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Ja, das wäre die Bedingung für Stetigkeit in (0,0). Ist auch dasselbe, was Du oben als allg. Def. geschrieben hast (mit x->x_o).

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Ok vielen Dank