Wir müssen zunächst die Gleichung der Tangente finden.
Die Ableitung der Funktion \( f(x) \) ist \( f'(x) = -\frac{1}{2}x + 2 \). An der Stelle \( x = 6 \) ist die Steigung der Tangente \( f'(6) = -\frac{1}{2}(6) + 2 = -1 + 2 = 1 \).
Die Gleichung der Tangente hat die Form y = mx + b, wobei m die Steigung ist und b der y-Achsenabschnitt. Da die Tangente den Punkt P(6/3) berührt, können wir m = 1 und (6, 3) in die Gleichung einsetzen, um b zu finden:
3 = 1(6) + b => b = 3 - 6 = -3
Die Gleichung der Tangente lautet also y = x - 3
Jetzt können wir den Flächeninhalt berechnen, indem wir die Grenzen des Integrals finden, wo die Parabel die Tangente schneidet. Setzen wir f(x) gleich y und y gleich x-3, lösen wir für x :
1/4x^2 + 2x = x - 3
1/4x^2 + 2x - x + 3 = 0
1/4x^2 + x + 3 = 0
Um die Lösungen zu finden, verwenden wir die quadratische Formel.
...
Hier ist a = -1/4b, b = 1 und c = 3 . Setzen wir diese Werte ein:
Text erkannt:
\( \begin{array}{l}A=\int \limits_{-2}^{4}\left(-\frac{1}{4} x^{2}+2 x-(x-3)\right) d x \\ A=\int \limits_{-2}^{4}\left(-\frac{1}{4} x^{2}+3 x-3\right) d x \\ A=\left[-\frac{1}{12} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}-3 x\right]_{-2}^{4} \\ A=\left[\left(-\frac{1}{12}(4)^{3}+\frac{3}{2}(4)^{2}-3(4)\right)-\left(-\frac{1}{12}(-2)^{3}+\frac{3}{2}(-2)^{2}-3(-2)\right)\right] \\ A=\left[\left(-\frac{64}{12}+\frac{48}{2}-12\right)-\left(-\frac{-8}{12}+\frac{12}{2}+6\right)\right] \\ A=\left[\left(-\frac{16}{3}+24-12\right)-\left(\frac{2}{3}+6+6\right)\right] \\ A=\left[\left(-\frac{16}{3}\right)-\left(\frac{14}{3}\right)\right] \\ A=-\frac{16}{3}-\frac{14}{3} \\ A=-\frac{30}{3} \\ A=-10\end{array} \)
Also beträgt der Flächeninhalt des begrenzten Bereichs zwischen der Parabel, der y-Achse und der Tangente im Punkt P(6/3) 10 Quadrat-Einheiten.
