Zeigen Sie, dass die Matrix | f(t) f(t)g(t) 2t2 -4t+3| | 1 g(t) 0| | 0 1 h(t) | Mat3(ℝ)

Question

Aufgabe:

Seien f(t), g(t) und h(t) drei reelle Funktionen. Zeigen Sie, dass die Matrix | f(t) f(t)g(t) 2t² -4t+3| | 1 g(t) 0| | 0 1 h(t) | Mat3(ℝ)
für alle t ∈ ℝ  invertierbar ist, und bestimmen Sie das Inverse A^−1. ÜberprüfenSie ihr Ergebnis, indem Sie den (1, 2)-Eintrag des Matrizenprodukts A · A^−1 ausrechnen.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären, wie diese Aufgabe funktioniert? …

Comments

Kannst Du grundsätzlich eine 3-3-matrix invertieren?

Answer 1

$M=\begin{pmatrix} f & f*g & 2t^2 -4t +3 \\ 1 & g&0\\0&1&h \end{pmatrix}$

hat die Determinate 2t²-4t+3 und die ist für alle t∈ℝ ungleich 0.

Also invertierbar mit

$M^{-1}=\frac{1}{2t^2-4t+3}\begin{pmatrix} g\cdot h & 2t^2-4t+3-f \cdot g \cdot h & -g \cdot(2t^2-4t+3)\\ -h & f \cdot h& 2t^2-4t+3\\1&-f&0 \end{pmatrix}$

Der (1, 2)-Eintrag ist also $1- \frac{f \cdot g \cdot h }{2t^2-4t+3}$