Für welche Werte a€R liegt eindeutige Lösbarkeit vor?

Question

Aufgabe:

Für welche Werte a€R liegt eindeutige Lösbarkeit vor?

ax-2y=a

2x-ay=2

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Wenn das ein LGS sein soll, löse es mit einem der üblichen Verfahren (auflösen/einsetzen, Gauß-Alg,....). Dann siehst Du, ob es für alle x möglich ist oder ob und ggf. welche Einschränkungen an a nötig sind.

Comments

Ich habe jetzt folgende Umformungen vorgenommen:

2y=ax-a

ay=2x-2

2y/a=x-1

ay/2=x-1

2. Gleichung von 1. abziehen

(4y-a²y)/2a=0

y(4-a²)/2a=0

4-a²=0

a=+2/-2

Ist das so richtig?

Was bedeutet das jetzt für die Lösbarkeit? Ich bin gerade verwirrt. Heißt es, das Gleichungssystem ist für a=+2/-2 nicht eindeutig lösbar?

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Da Du durch \(a\) dividierst, musst Du erstmal \(a=0\) ausnehmen und diesen Fall gesondert behandeln (am einfachsten am ursprünglichen LGS).

Der Satz vom Nullprodukt liefert aus Deiner Rechnung \(y=0\) oder \(a=\pm2\).

Prüfe also nun am ursprünglichen LGS die Fälle und beantworte jedesmal, ob es eine eindeutige Lösung gibt (mit Begründung).

1. Fall: \(a=0\)

2. Fall: \(a=2\)

3. Fall: \(a=-2\)

4. Fall: \(y=0\)

Deine Umformungen haben gezeigt, dass andere Fälle nicht auftreten können.

Nebenbei: Wenn Du Determinanten kennst, geht das ganze einfacher, wenn Du das LGS in Matrix-Vektor schreibst und dann benutzt, dass ein solches LGS eindeutig lösbar ist, wenn \(\det \neq 0\) ist. Das führt direkt auf die obigen Fälle 2 und 3.

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... wobei gemeint ist, dass es in diesen beiden Fällen nicht eindeutig lösbar ist.