Die angegebene Parametrisierung ist nicht konsistent mit dem Bild. Eigentlich müsste man eine Variable haben, die von 0 bis r läuft. Da die Kreisscheiben den Radius r haben, benötigt man auch kein rmax.
Weiterhin ist es seltsam, dass t im Bild später in der Formel ϕ ist, und p ist in der Formel θ. Man hätte das wohl andersherum erwartet.
Hier nochmal kurz die Herleitung der Parametrisierung mit den Variablen im Bild:
Mittelpunkte der Kreisscheiben:
R⋅eR mit eR=⎝⎛costsint0⎠⎞ und t∈[0,2π]
Kreisscheibe mit Radius r in der Ebene aufgespannt aus eR und ez=⎝⎛001⎠⎞ um (0,0,0):
ρ(cosp⋅eR+sinp⋅ez)=ρ⎝⎛cospcostcospsintsinp⎠⎞ mit ρ∈[0,r],p∈[0,2π]
Anheften der Kreisscheibe an R⋅eR :
⎝⎛xyz⎠⎞=R⋅eR+ρ⎝⎛cospcostcospsintsinp⎠⎞=⎝⎛cost(R+ρcosp)sint(R+ρcosp)ρsinp⎠⎞
Funktionaldeterminante siehe hier: ρR+ρ2cosp
Hier nochmal die passende Wikipedia-Seite.