Berechnen Sie das Volumen des Torus in Abhängigkeit von {r} und R!

Question

Hi, woher kommt denn das r vor dem r(max) bei der Parametrisierung? Ich kannte zuvor nur das r(max) ohne zusätzliches r. Das erste Bild ist aus unserer Übung und das zweite Bild ist aus unserem Skript. Bei der Determinante finde ich auch anderes. Bzw ein + cos… und nicht Minus.

Text erkannt:

Beispiel 69 (Torus Volumen).
Ziel: Berechnung des Torusvolumens durch Anwendung der Traforegel
$\begin{array}{l} x=(R+r \cos \theta) \cos \phi \\ y=(R+r \cos \theta) \sin \phi \\ z=r \sin \theta \end{array}$

Darstellung in neuem Koordinatensystem:
$|\operatorname{det}|=r \cdot R-r^{2} \cos \theta$

Comments

Was waren denn die "neuen Koordinaten? aus Dimensionsgründen Mus max ein skalierfaktor sein.

ich denke nicht, dass das eine Rolle für die Berechnung des Volumens  spielt.

lul

Answer 1

Die angegebene Parametrisierung ist nicht konsistent mit dem Bild. Eigentlich müsste man eine Variable haben, die von 0 bis $r$ läuft. Da die Kreisscheiben den Radius $r$ haben, benötigt man auch kein $r_{max}$.

Weiterhin ist es seltsam, dass $t$ im Bild später in der Formel $\phi$ ist, und $p$ ist in der Formel $\theta$. Man hätte das wohl andersherum erwartet.

Hier nochmal kurz die Herleitung der Parametrisierung mit den Variablen im Bild:

Mittelpunkte der Kreisscheiben:

$R\cdot e_R$ mit $e_R = \begin{pmatrix} \cos t\\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}$ und $t\in [0,2\pi ]$

Kreisscheibe mit Radius $r$ in der Ebene aufgespannt aus $e_R$ und $e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$ um (0,0,0):

$\rho\left( \cos p \cdot e_R + \sin p \cdot e_z\right) = \rho\begin{pmatrix} \cos p \cos t\\ \cos p \sin t \\ \sin p \end{pmatrix}$ mit $\rho \in [0,r],\; p \in[0,2\pi ]$

Anheften der Kreisscheibe an $R\cdot e_R$ :

$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = R\cdot e_R + \rho\begin{pmatrix} \cos p \cos t\\ \cos p \sin t \\ \sin p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t (R+\rho \cos p)\\\sin t (R+\rho \cos p) \\ \rho\sin p\end{pmatrix}$

Funktionaldeterminante siehe hier: $\rho R + \rho^2\cos p$

Hier nochmal die passende Wikipedia-Seite.