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Hi, woher kommt denn das r vor dem r(max) bei der Parametrisierung? Ich kannte zuvor nur das r(max) ohne zusätzliches r. Das erste Bild ist aus unserer Übung und das zweite Bild ist aus unserem Skript. Bei der Determinante finde ich auch anderes. Bzw ein + cos… und nicht Minus.IMG_8446.jpeg

IMG_8447.jpeg

Text erkannt:

Beispiel 69 (Torus Volumen).
Ziel: Berechnung des Torusvolumens durch Anwendung der Traforegel
x=(R+rcosθ)cosϕy=(R+rcosθ)sinϕz=rsinθ \begin{array}{l} x=(R+r \cos \theta) \cos \phi \\ y=(R+r \cos \theta) \sin \phi \\ z=r \sin \theta \end{array}

Darstellung in neuem Koordinatensystem:
det=rRr2cosθ |\operatorname{det}|=r \cdot R-r^{2} \cos \theta

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Was waren denn die "neuen Koordinaten? aus Dimensionsgründen Mus max ein skalierfaktor sein.

ich denke nicht, dass das eine Rolle für die Berechnung des Volumens  spielt.

lul

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Die angegebene Parametrisierung ist nicht konsistent mit dem Bild. Eigentlich müsste man eine Variable haben, die von 0 bis rr läuft. Da die Kreisscheiben den Radius rr haben, benötigt man auch kein rmaxr_{max}.

Weiterhin ist es seltsam, dass tt im Bild später in der Formel ϕ\phi ist, und pp ist in der Formel θ\theta. Man hätte das wohl andersherum erwartet.

Hier nochmal kurz die Herleitung der Parametrisierung mit den Variablen im Bild:

Mittelpunkte der Kreisscheiben:

ReRR\cdot e_R mit eR=(costsint0)e_R = \begin{pmatrix} \cos t\\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix} und t[0,2π]t\in [0,2\pi ]

Kreisscheibe mit Radius rr in der Ebene aufgespannt aus eRe_R und ez=(001)e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} um (0,0,0):

ρ(cospeR+sinpez)=ρ(cospcostcospsintsinp)\rho\left( \cos p \cdot e_R + \sin p \cdot e_z\right) = \rho\begin{pmatrix} \cos p \cos t\\ \cos p \sin t \\ \sin p \end{pmatrix} mit ρ[0,r],  p[0,2π]\rho \in [0,r],\; p \in[0,2\pi ]

Anheften der Kreisscheibe an ReRR\cdot e_R :

(xyz)=ReR+ρ(cospcostcospsintsinp)=(cost(R+ρcosp)sint(R+ρcosp)ρsinp)\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = R\cdot e_R + \rho\begin{pmatrix} \cos p \cos t\\ \cos p \sin t \\ \sin p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t (R+\rho \cos p)\\\sin t (R+\rho \cos p) \\ \rho\sin p\end{pmatrix}

Funktionaldeterminante siehe hier: ρR+ρ2cosp \rho R + \rho^2\cos p


Hier nochmal die passende Wikipedia-Seite.

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