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Aufgabe:


Problem/Ansatz: Bräuchte Hilfe bei der Aufgabe C wie mache ich das?

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Text erkannt:

Aufgabe \( 3(14=3+5+6 \) Punkte \( ) \) :
Sei \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) nilpotent, d.h. es gibt \( k \in \mathbb{N} \) mit \( A^{k}=0 \).
(a) Bestimmen Sie \( \operatorname{det}(A) \).
(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von \( A \).
(c) Zeigen Sie: Ist \( A \neq 0 \in \mathbb{R}^{n \times n} \), so ist \( A \) nicht diagonalisierbar.

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3 Antworten

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Geht auch einfacher: da 0 einziger Eigenwert von \( A \) ist, muss die Diagonalmatrix (wenn es sie gäbe) die Nullmatrix sein. Daraus folgt aber unmittelbar \( A =0 \). Es soll aber \( A \neq 0 \) sein.

Avatar von 11 k

Stimmt. Das ist noch einfacher :-) (+1)

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Teil (b) hast du ja schon und weißt, dass alle Eigenwerte von \(A\) gleich 0 sind.

Damit ist \(A\) diagonalisierbar genau dann, wenn der Eigenraum \(Eig(A,0)\) zu \(\lambda = 0\) die Dimension \(n\) hat, wenn also eine Basis von Eigenvektoren gefunden werden kann.

Nun gilt aber

\(Eig(A,0) = N(A) = \{x\in \mathbb R^n\:|\: Ax = 0\}\)

Da \(A \neq 0\) gilt \(\dim R(A) > 0\) und die Dimensionsformel liefert:

\( \underbrace{\dim R(A) }_{>0} + \dim N(A) = n \Rightarrow \boxed{\dim N(A) = n - \dim R(A) < n}\).

Damit ist \(\dim Eig(A,0) < n\) und kann somit auch keine Basis von Eigenvektoren enthalten. Also ist \(A\) nicht diagonalisierbar.

Avatar von 10 k
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Die Determinante einer nilpotenten Matrix ist 0, denn det(A**n) = det(A)**n.

Alle Eigenwerte einer nilpotenten Matrix sind 0: Sei z ein Eigenwert und v ein zugehöriger Eigenvektor, also A*v = z*v, dann ist A**n * v =  z** * v = 0*v, aber v != 0, also z = 0.

Wenn A diagonalisierbar wäre, so wäre es ähnlich zur Nullmatrix.

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