wäre in diesem Fall die Jacobi Matrix eindimensional?

Question

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei dem Rechenweg.. wäre in diesem Fall die Jacobi Matrix eindimensional? Woher weiß ich ob es frechet differenzierbar ist? Wäre sehr dankbar für Hilfe!,

Comments

Welcher Rechenweg für welches Problem?

Meine Glaskugel ist gerade zur Inspektion, deswegen bin ich im Hellsehen gerade etwas eingeschränkt ;)

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Der Rechenweg für die jacobi Matrix

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Und was ist mit "in diesem Fall" gemeint? Worum geht es in deiner Frage?

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Text erkannt:

6. Gegeben ist die Funktion $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$,
$f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}} .$

Berechnen Sie die Jacobi-Matrix und die Hesse-Matrix.
Ist $f$ Fréchet-differenzierbar ?

Der Rechenweg für die jacobi Matrix

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Tut mir leid, dass Foto hat beim ersten Mal nicht funktioniert..

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Jakobi Matrix

(df/dx,df/dy)^T das würde ich 2d nennen.

Fréchet-differenzierbar heisst hier einfach total differenzierbar.

lul

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Wieso die Transponierte?

Answer 1

Aloha :)

Die Jacobi-Matrix einer Vektorfunktion$$\vec f=\begin{pmatrix}f_1(\vec r)\\\vdots\\f_n(\vec r)\end{pmatrix}$$enthält die Gradienten der Komponentenfunktionen als Zeilenvektoren:$$J\vec f=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}f_1(\vec r)\\\vdots\\\operatorname{grad}f_n(\vec r)\end{pmatrix}$$

Da du hier eine Funktion $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ hast, die nach $\mathbb R$ abbildet, gibt es nur eine Komponentenfunktion mit zwei Variablen. Also hat die Jacobi-Matrix eine Zeile und zwei Spalten:$$Jf=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} &\frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{x}{(x^2+y^2+1)^{\frac32}} & -\frac{y}{(x^2+y^2+1)^{\frac32}}\end{pmatrix}$$

In der Hesse-Matrix wird die erste Zeile der Jacobi-Matrix nach $x_1$, die zweite Zeile nach $x_2$ und so weiter abgeleitet:

$$Hf=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\\[2ex]\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial y\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2x^2-y^2-1}{(x^2+y^2+1)^{\frac52}} & \frac{3xy}{(x^2+y^2+1)^{\frac52}}\\[2ex]\frac{3xy}{(x^2+y^2+1)^{\frac52}} & \frac{-x^2+2y^2-1}{(x^2+y^2+1)^{\frac52}}\end{pmatrix}$$

Wenn die Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen stattfindet, wie hier, ist Frechet-Differenzierbarkeit gleich der totalen Differenzierbarkeit. Da die Jacobi-Matix zwei stetige Funktionen enthält, ist $f$ stetig partiell differenzierbar und daraus folgt die totale Differenzierbarkeit.

Comments

Könntest du mir vielleicht die Rechnung für die Hesse Matrix sagen, das versteh ich nicht ganz..