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Aufgabe:

Stellen Sie eine Koordinatengleichung der beschriebenen Ebene E auf.

a) E geht durch A(0|2|0), B(2|1|2), C(1|0|2).

b) E ist die x-y-Ebene.

c) E ist die x-z-Ebene.

d) E enthält die z-Achse, den Punkt P(1|1|0) und steht senkrecht auf der x-y-Ebene.


Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht, wie ich die Gleichungen aufstellen muss.

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Aloha :)

zu a) Ein guter Ansatz für Koordinatengleichungen von Ebenen ist:$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$Dieser funktioniert aber nur für Ebenen, die den Ursprung \((0|0|0)\) nicht enthalten.

Wir wählen hier diesen Ansatz und setzen die Punkte ein:$$A(0|2|0)\implies\frac{0}{a}+\frac{2}{b}+\frac{0}{c}=1\implies\frac2b=1\implies \pink{b=2}$$$$B(2|1|2)\implies\frac{2}{a}+\frac{1}{\pink2}+\frac2c=1\implies\frac2a+\frac2c=\frac12$$$$C(1|0|2)\implies\frac{1}{a}+\frac{0}{\pink2}+\frac2c=1\implies\frac1a+\frac2c=1$$

In den letzten Gleichungen taucht \(\frac2c\) auf. Wir stellen beide Gleichungen danach um:$$\frac2c=\frac12-\frac2a\;\land\;\frac2c=1-\frac1a\implies\frac12-\frac2a=1-\frac1a\implies-\frac1a=\frac12\implies\pink{a=-2}$$Danach ist nun auch \(c\) klar:$$\frac1a+\frac2c=1\implies-\frac12+\frac2c=1\implies\frac2c=\frac32\implies\pink{c=\frac43}$$

Wir setzen die ermittelten Werte ein:$$\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{\frac43}=1\implies-\frac x2+\frac y2+\frac{3z}{4}=1\stackrel{\cdot4}{\implies}\pink{-2x+2y+3z=4}$$

zu b) E ist die xy-Ebene

In der xy-Ebene enthält den Ursprung \((0|0|0)\). Daher klappt der Ansatz aus Teil (a) nicht. Aber in der xy-Ebene kannst du die \(x\)-Koordinate und die \(y\)-Koordinate völlig frei wählen. Die \(z\)-Koordinate muss aber immer gleich \(0\) sein. Daher lautet die gesuchte Ebenen-Gleichung:$$z=0\quad\text{(xy-Ebene)}$$

zu c) E ist die xz-Ebene

Die xz-Ebene enthält wiederden Ursprung. Hier kannst du die \(x\)-Koordinate und die \(z\)-Koordinate völlig frei wählen. Die \(y\)-Koordinate muss aber immer gleich \(0\) sein. Daher lautet die gesuchte Ebenen-Gleichung:$$y=0\quad\text{(xz-Ebene)}$$

zu d) Die gesuchte Ebene enthält die z-Achse, daher unterliegt die \(z\)-Koordinate keinen Einschränkungen. Die gesuchte Ebenengleichung wird also nur \(x\) und \(y\) enthalten. Die Ebene enthält den Ursprung \((0|0|0)\), denn der gehört zur z-Achse und sie enthält den Punkt \((1|1|0)\). Da die \(z\)-Koordinate frei wählbar ist, enthält die Ebene auch alle Punkte \((0|0|z)\) und \((1|1|z)\). Wenn wir innerhalb der Ebene vom Punkt \((0|0|z)\) zum Punkt \((1|1|z)\) gehen können, können wir innerhalb der Ebene auch zu den Punkten \((2|2|z)\), \((3|3|z)\)... gehen. Die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten müssen also stets gleich sein:$$x=y\quad\text{bzw.}\quad \pink{x-y=0}$$

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Du kannst auch erst über die Parametergleichung gehen, wenn es einfacher ist.

Ansonsten: überlege, wie die Ebene aussieht. Wie sieht dann ein Normalenvektor \( \vec{n} \) aus? Für die Koordinatengleichung gilt \( E \, : \, n_1x +n_2y+n_3z = \vec{p} \cdot \vec{n} \). Du brauchst dann nur noch einen Punkt und kannst mit dem Skalarprodukt die rechte Seite bestimmen.

Avatar von 11 k

Das verstehe ich auch nicht.

Was ist "das"?

Was die Koordinatengleichung bedeutet und was es mit der Aufgabe zu tun hat.

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Hinweis zu d)

blob.png

\( \vec{a} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \), \( \vec{b} \)=\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \).

Avatar von 123 k 🚀

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