Lagebeziehungen von Ebenen, Parameter- & Koordinatengleichung

Question

wir haben heute besprochen wie man von der koordinatengleichung in die parametergleichung kommt und umgekehrt. von der koordinatengleichung in die parametergleichung kommt man ja auf zwei Wegen. einmal durch die dreipunktegleichung und einmal durch die direkte Parametrisierung. verstanden habe ich alles, aber ich sitze jetzt vor einer Aufgabe, deren Gleichung nur noch zwei bzw. eine Variable(n) enthält. jetzt weiß ich nicht wie ich das mit den beiden Methoden machen soll, vielleicht kann mir ja jemand helfen!? ich habe zu beidem ansätze:

E:2x-y=4

dreipunktegleichung:

Px(x|0|0) -->2x=4 --> x=2

Py(0|y|0) --> -y=4 --> y=-4

Pz(0|0|z) --> kann man für z einfach 0 nehmen?

direkte Parametrisierung:

x=r

y=s

z=0 (geht das?)

E:x=(0|0|0)+r*(1|0|0)+s*(0|1|0) --> die zahlen in den klammern stehen eigentlich übereinander)

E:3z=6

dreipunktegleichung:

Px(x|0|0) --> ??

Py(0|y|0) --> ??

Pz(0|0|z) --> 3z=6 --> z=2

direkte Parametrisierung:

x=0

y=0

z=2

E:x=(0|0|2)+r*(0|0|0)+s*(0|0|0) --> die zahlen in den klammern stehen eigentlich wieder übereinander

--> ist das richtig? wenn nicht, wie muss man es dann machen?

wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!! :)

Answer 1

E:2x-y=4

dreipunktegleichung:

Px(x|0|0) -->2x=4 --> x=2

Py(0|y|0) --> -y=4 --> y=-4

Pz(0|0|z) --> kann man für z einfach 0 nehmen?

Nein! Da z nicht in der Gleichung vorkommt, heisst das, dass z beliebig sein darf.  Du kannst somit als einen Richtungsvektor von Anfang an v = (0,0,1) wählen. Es ergibt sich z=s.

Ohne eine z-Komponente in deinen Vektoren bleibst du in der xy-Ebene.

E: x = (2/0/0) + r(-2,-4,0) + s(0,0,1)

E:3z=6, z=2

ist eine Ebene parallel zur xy-Ebene auf der Höhe z=2.

Keine Schnittpunkte mit der x- und der y-Achse.

Richtungsvektoren von Anfang an (1,0,0) und (0,1,0) wählen.

dreipunktegleichung:

Px(x|0|0) --> ??

Py(0|y|0) --> ??

Pz(0|0|z) --> 3z=6 --> z=2

direkte Parametrisierung:

z=2

E:x=(0|0|2)+r*(1|0|0)+s*(0|1|0) --> die zahlen in den klammern stehen eigentlich wieder übereinander