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Aufgabe:

Warum sollte man Produktregel verwenden?


Problem/Ansatz:

Hallo liebe Community,
ich habe eine Frage bezüglich der Produktregel. Beim Ableiten von Summen wird die Summenregel verwendet, für die man summandenweise ableitet. Wenn ich nun ein Produkt betrachte könnte ich ja jetzt auch auf die Idee kommen, hier einfach die beiden Faktoren abzuleiten und gut ist. Ich habe die Produktregel selbst verstanden, weiß aber nicht, warum obiges falsch ist.
Lg

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Wenn die Länge a eines Rechtecks im Laufe der Zeit durch eine Funktion a(t) und die Höhe b entsprechend durch eine Funktion b(t) beschrieben werden kann, die sich mit den Geschwindigkeiten a'(t) bzw. b'(t) verändern, dann gilt für den Flächeninhalt A = a·b,

A'.png

dass sich seine Änderungsgeschwindigkeit A'(t) = (A(t) - A(t0)) / (t-t0) = ΔA / Δt wegen
ΔA ≈ Δa·b + a·Δb (das kleine Rechteck oben rechts ist im Vergleich zu den anderen Flächen deutlich kleiner und im Grenzfall Δt→0 steht statt des ≈ ein =) genau nach der Produktregel berechnet.

Die Maßeinheit dieser Flächenänderungsgeschwindigkeit sollte natürlich m^2/s sein, wohingegen a'·b' die Maßeinheit (m/s)·(m/s) hätte.

Schöne Illustration!

Hast du dir jemals die Herleitung der Produktregel angeschaut?
Dort liegt die Antwort zu deiner Frage.

2 Antworten

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Beste Antwort

Betrachte \( f(x) = x^2= x \cdot x \). Die Ableitung ist \( f'(x)=2x \) und nicht \( f'(x)=1 \cdot 1 =1 \).

Das liegt daran, dass der Differentialoperator, der einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, nur linear ist. Das heißt bei Summen und konstanten Faktoren funktioniert das ohne Probleme. Bei Produkten, wo in beiden Faktoren Terme mit der Variablen vorkommen, klappt es dann eben nicht mehr und man braucht die Produktregel.

Avatar von 11 k
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Wenn ich nun ein Produkt betrachte könnte ich ja jetzt auch auf die Idee kommen, hier einfach die beiden Faktoren abzuleiten und gut ist.

Nein!

Die Produktregel lautet:

f '(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)

Beispiel:

f(x) = x^2*sin(3x)

u = x^2 -> u'= 2x

v= sin(3x) -> v'= 3*cos(3x)

-> f '(x) = ...

Die Variable muss in beiden Faktoren vorkommen.

vgl:

f(x) = 2*x^3

Hier braucht man keine Produktregel, sondern die Faktorregel, obwohl auch ein Produkt vorliegt.

Faktoren werden mitgeschleppt und nicht abgeleitet.

In Summen kann natürlich bei den Summanden die Produktregel vorkommen.

Beispiel:
f(x) = x^2 + sin(x)*x

Avatar von 37 k

Nein das meinte ich nicht. Du hast schon ein Produkt aus zwei Funktionen, aber warum kann ich nicht einfach faktorweise ableiten?

Der Link beantwortet die Frage auch nicht...

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