Berechnen Sie den vertikalen Abstand zur Turmspitze. (Flugbahn)

Question

Aufgabe:

Die Flugbahn einer neuen Testdrohne lässt sich durch die Funktion f beschrieben
f(x)= -1/4 x^4 + 1/2 x^3

Die gesamte Flugbahn befindet sich im 1. Quadranten.
x: Entfernung in Km, f(x)= Flughöhe.

1.1 Nach 1Km überfliegt die Testdrohne einen 200 m hohen Turm. Berechnen Sie den vertikalen Abstand zur Turmspitze.

1.2 Genau in dem Moment, in dem die Drohne den höchsten Punkt der Flugbahn erreicht, versagt das Motor und die Drohne stürzt. Ermitteln Sie in welcher horizontalen Entfemung zum Startort der höchste Punkt der Flugbahn erreicht wird. Berechnen Sie die maximale Flughöhe.

1.3 Berechnen Sie, wie weit vom Startort entfernt die Drohne aufschlägt.

1.4 Ermitteln Sie den Punkt. In dem der Flugbahn am steilsten ist. Bestimmen Sie den Steigungswinkel
Flugbahn in diesem Punkt.

Problem/Ansatz:

Kann jemand mein Problem lösen und die Vorgehensweise erklären, damit ich ähnliche Aufgaben weiterhin selbst erledigen kann? Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Die Flugbahn einer neuen Testdrohne lässt sich durch die Funktion f
beschreiben
f(x) = -1/4 x^4 + 1/2 x^3

Die gesamte Flugbahn befindet sich im 1. Quadranten.
x: Entfernung in Km, f(x)= Flughöhe.

1.1 Nach 1Km überfliegt die Testdrohne einen 200 m hohen Turm.
Berechnen Sie den vertikalen Abstand zur Turmspitze.

f ( 1 ) = -1/4 * 1^4 + 1/2 * 1^3 = - 0.25 + 0.5 = 0.25 km = 250 m
Abstand = 250 - 200 = 50 m

Answer 2

f(x)= -1/4 x⁴ + 1/2 x³

Nach 1Km ist sie in der Höhe von -1/4 *1⁴ + 1/2 *1³  = 1/2 

1/2 km = 500m also ist sie 200m über der Turmspitze.

Für den höchsten Punkt, bestimme einen Hochpunkt des Funktionsgraphen

zur Funktion f mittels Ableitung gleich 0 setzen etc. Ich komme auf x=1,5,

also 1,5km horizontale Entfernung vom Start.

Comments

Meinst du nach 1km ist Höhe 250m.

Vertikale Abstand ist dann 250-200=50m also über Turmspitze.

f’(x) = -x^3 + 3/2 * x^2

f’(x) = 0
-x^3 + 3/2 * x^2 = 0
x * (-x^2 + 3/2 * x) = 0
x = 0 oder -x^2 + 3/2 * x = 0

Da die Flugbahn im 1. Quadranten liegt, betrachten wir nur die positive Lösung.

-x^2 + 3/2 * x = 0
x * (-x + 3/2) = 0
x = 0 oder -x + 3/2 = 0
x = 3/2

Der Scheitelpunkt liegt also bei x = 3/2 km.

maximale Flughöhe zu berechnen, setzen wir x = 3/2 in f(x) ein.

f(3/2) = -1/4 * (3/2)^4 + 1/2 * (3/2)^3
= -1/4 * (81/16) + 1/2 * (27/8)
= -81/64 + 27/16
= (27 - 162)/64
= -135/64

Die maximale Flughöhe beträgt also -135/64 km.

1.3

f(x) gleich 0 und lösen nach x auf.

-1/4 * x^4 + 1/2 * x^3 = 0
x^3 * (-1/4 * x + 1/2) = 0
x^3 = 0 oder -1/4 * x + 1/2 = 0
x = 0 oder -1/4 * x + 1/2 = 0
-1/4 * x = -1/2
x = 2

1.4 kriege ich nicht hin

Ich verstehe nicht, warum ich unterschiedliche Lösungen bekomme. Könnten Sie mir bitte schrittweise erklären, wenn es Ihnen nichts ausmacht, denn ich verstehe nicht, wo ich falsch liege. Danke.

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Fehler
-1/4 *1^4 + 1/2 *1^3  = 1/2 
Richtig
-1/4 *1^4 + 1/2 *1^3  = - -0.25 + 0.5 = 250 m
Höhe minus Turmspitze = 250 m - 200 m = 50 m

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Danke, sind 1.2 und 1.3 richtig? Und wie macht man 1.4? Vielen Dank für alles

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1.2
dazu braucht man Differenztialrechnung
Müßtet ihr dazu gehabt haben
f ´( x ) = 3 / 2 * x^2 - x^3
Hochpunkt
f ´( x ) = 0
x = 3/2 km
die Höhe ist
f ( 3/2) = 0.422 km = 422 m

1.3
Damit ist der Nullpunkt der Funtion f gemeint
f ( x ) = 0
x = 2

1.4
Damit ist der Wendepunkt gemeint
Hier ist wieder Differenztialrechnung vonnöten
f ´´( x ) = 3 * x - x^2 * 3
f ´´ ( x ) = 0
x = 1