Bestimmen Sie im Fall (i) die zugehörige Lösungsmenge.

Question

Aufgabe:

Für a œ R sei das folgende lineare Gleichungssystem (über R) gegeben:

\( \left(\begin{array}{lll}2 & -1 & a \\ 1 & -1 & 1 \\ a & -1 & 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)

(a) Für welche Werte von a hat das Gleichungssystem
(i) genau eine, (ii) unendlich viele und (iii) keine Lösung(en)?
(b) Bestimmen Sie im Fall (i) die zugehörige Lösungsmenge.

Problem/Ansatz:

Ich bin durch die Buchstaben a etwas verwirrt. Könnte mir jemand den Lösungsweg erläutern?

Comments

Der Buchstabe a ist ein Platzhalter für eine Zahl die du nicht kennst. Lass dich nicht von Zahlen verwirren, die du nicht kennst. Zahlen die du nicht kennst richten sich nach den gleichen Rechengesetzen wie Zahlen die du kennst. Die Mächtigkeit der Lösungsmenge wird deshalb genau so bestimmt, wie wenn du die Zahl kennen würdest.

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Ja das ist mir klar, aber ich bekomme trotzdem keine vernünftige Lösung raus.

Answer 1

\( \det( \left(\begin{array}{lll}2 & -1 & a \\ 1 & -1 & 1 \\ a & -1 & 2\end{array}\right) )=a^2-2a \)

ist 0 für a=0 oder a=2. In den Fällen gibt es unendlich viele (a=2,; Lösungen (1-t,1,t) )

oder keine Lösungen(a=0) .

Für die anderen Fälle wende Gauss-Algorithmus an

und erhalte ( 1/a ;  2/a  ;  1/a ).