Integral Trigonometrischer Funktion Grenzen berechnen

Question

Aufgabe:
$\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{3*π}{4}}$ sinh(x) * cos (x) dx

Problem/Ansatz:

Ich habe zweimal die Partielle Integration angewendet und bin dann auf das Ergebnis $\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{3*π}{4}}$ cos(x) * sinh(x) dx gekommen. Jetzt müsste ich den Betrag der Differenz beider Grenzen berechnen. also: (cos($\frac{3π}{4}$ ) * sinh($\frac{3π}{4}$ ) - ((cos($\frac{π}{4}$ ) * sinh($\frac{π}{4}$ ) = 4,3?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich hier einen Denkfehler habe. Was ist schiefgelaufen?

Comments

https://www.integralrechner.de/

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Ganz vergessen. Dankeschön!

Answer 1

Hallo,

Ich habe zweimal die Partielle Integration angewendet

Das ist doch 'ne gute Idee. Aber anscheinend bist Du beim Ableiten und Integrieren durcheinander gekommen. Ich habe:$$\begin{aligned} \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \sinh(x)\cos(x)\,\text{d}x &= \left[\cosh(x)\cos(x)\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} + \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \cosh(x)\sin(x)\,\text{d}x \\ \dots&= \left[\cosh(x)\cos(x)\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} + \left[\sinh(x)\sin(x)\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} - \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4}\sinh(x)\cos(x)\,\text{d}x \\ 2\int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \sinh(x)\cos(x)\,\text{d}x &= \left[\cosh(x)\cos(x) + \sinh(x)\sin(x)\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}\\ \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \sinh(x)\cos(x)\,\text{d}x &= \frac{1}{4}\sqrt{2}\left(-\cosh\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\sinh\left(\frac{3\pi}{4}\right)-\cosh\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sinh\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) \\ &\approx -0,809 \end{aligned}$$

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Berechnung. Das hat mir weitere Einblicke gegeben.
Haben Sie dann die Cos(x) und die Sin(x) ausgeklammert und mit $\frac{1}{2}$ multipliziert? Ich habe Ihr Ergebnis auch erreicht allerdings hat mein Taschenrechner nicht alles zusammen hinbekommen.

Ich habe folgende Werte:
x = $\frac{3π}{4}$:
Cosh($\frac{3*π}{4}$) ≈ 5.3228

Cos($\frac{3*π}{4}$) ≈ - $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Sinh($\frac{3*π}{4}$) ≈ 5.2280

Sin($\frac{3*π}{4}$) ≈ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

x = $\frac{π}{4}$:
Cosh($\frac{π}{4}$) ≈ 1.325

Cos($\frac{π}{4}$)≈  $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Sinh($\frac{π}{4}$) ≈ 0.8687

Sin($\frac{π}{4}$)≈ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Somit müsste doch:
2$\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}}$ sinh(x)*cos(x) dx = [cos(x)*cosh(x)+sin(x)*sinh(x)] ^{3*π / 4} - [cos(x)*cosh(x)+sin(x)*sinh(x)] ^{π / 4}
gelten.

Dann gilt auch:

... $\frac{1}{2}$ *([cos(x)*cosh(x)+sin(x)*sinh(x)]^{3*π / 4} -[cos(x)*cosh(x)+sin(x)*sinh(x)]^{π / 4})

Also in Zahlen:

$\frac{1}{2}$ * ( (- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ * 5.3228 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$ * 5.2280  ) -
($\frac{\sqrt{2}}{2}$ * 1.325 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$ * 0.8687 ) )

Teilweise ausgerechnet:

$\frac{1}{2}$ * (-0.067034) - $\frac{1}{2}$ (1.55118) ) 

Also:

-0.033517 - 0.77559

≈ - 0.809

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Haben Sie dann die Cos(x) und die Sin(x) ausgeklammert und mit $\frac{1}{2}$ multipliziert?

Es ist $$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$und$$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$$da habe ich den Faktor $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ ausgeklammert.

Von der dritten zur vierten Zeile habe ich die Gleichung durch 2 geteilt.