Hier noch eine Lösung, die mit Eigenschaften von Exponenten bei Produkten von Polynomen arbeitet.
Gesucht ist die Anzahl der Lösungen von
n1+⋯+n6=18 mit 0≤ni≤9 für i=1,…,6
Jetzt atme tief durch und mach dir in Ruhe klar, dass diese Anzahl dem Koeffizienten von x18 im folgenden Produkt entspricht:
(1+x+⋯+x9)6
Diesen Koeffizienten kann man sehr leicht berechnen. Man muss nur wissen, dass gilt:
(1−x)n+11=∑k=0∞(kn+k)xk
Für das Herausziehen des Koeffizienten zur Potenz x18 benutze ich folgende Schreibweise:
[x18]((1+x+⋯x9)6)=[x18]((1−x)6(1−x10)6)=…
Achtung: Jetzt werden alle Terme weggeschmissen, mit denen man nicht x18 erzeugen kann:
…=[x18]((1−6x10)∑k=0∞(k5+k)xk)=(185+18)−6(85+8)=25927