Finden Sie ein kleinstmögliches n (in Abhängigkeit von λ), (Exponentialverteilung)

Question

Aufgabe:

Seien X1, . . . , Xn unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter λ > 0.
Finden Sie ein kleinstmögliches n (in Abhängigkeit von λ), sodass Sie sich sicher sind,
dass
 \( P \left(| \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} X_k - E(X_1) |\geq 0.05 \right) \leq \frac{1}{1000} \) gilt.

Problem/Ansatz:

Tappe bei dieser Aufgabe leider komplett im Dunkeln, freue mich über jede Hilfe.

Comments

sodass Sie sich sicher sind

Was ist das denn für eine Formulierung?

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Das soll heißen, dass es vielleicht ein noch kleineres n geben könnte, von dem man aber nicht sicher beweisen kann, dass es die Bedingung auch wirklich erfüllt.

Answer 1

Das sieht sehr nach Tschebyscheff-Ungleichung aus.

Ich schreibe \(\bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} X_k \).

Da die \(X_k\) exponentialverteilt sind mit Parameter \(\lambda\), haben wir für Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) der \(X_k\)

$$\mu = \sigma = \frac 1\lambda$$

Damit ergibt sich für \(\bar X_n\) als Erwartungswert \(\mu_n\) und Standardabweichung \(\sigma_n\)

$$\mu_n = \mu= \frac 1\lambda \text{ und } \sigma_n = \frac {\sigma}{\sqrt n} = \frac 1{\lambda\sqrt n}$$

Das setzen wir jetzt in die Tschebyscheff-Ungleichung ein und erhalten

$$P(|\bar X_n - \mu| \geq 0.05) \leq \frac{\sigma_n^2}{0.05^2}= \boxed{\frac 1{0.05^2\cdot \lambda^2\cdot n} \stackrel{!}{\leq}\frac 1{1000}}$$

Jetzt lösen wir die Ungleichung in der Box nach \(n\) auf:

$$n \stackrel{!}{\geq} \frac{400000}{\lambda^2}\Rightarrow n= \left\lceil \frac{400000}{\lambda^2}\right\rceil$$

Hierbei ist \(\lceil x\rceil = \min\{ n \in \mathbb Z \,|\, n\geq x \}\) die "Ceiling-Funktion".