Exponentialverteilung verständnisfrage

Question

Aufgabe:

Wenn ich eine Exponentialverteilung habe:

Bsp: Im Mittel muss man am Schalter 1.9 Minuten warten

lamda = 1/1.9 = 0.526

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit weniger als 2 Minuten zu warten?

Problem/Ansatz:

\( P(X<2)=\int \limits_{0}^{2} 0.526 e^{-0.526 x} d x=\left[-e^{-0.526 x}\right]_{0}^{2} \)
\( =-e^{-1.052}+e^{0}=-0.3492386+1=0.6507614 \)

mit der Dichtefunktion für die Exponentialverteilung. Diese Funktion beinhaltet ja die Zwei auch, müsste man nicht mit der Grenze kurz unter 2 sein? Irgendwie bereitet mir das Mühe.

Man könnte ja auch die kumulative Verteiling bis 2 berechnen und hätte das gleiche, wie der Interval von 0 bis 2.. Ist das nicht falsch?

Answer 1

Die Dichtefunktion der Exponetialverteilung lautet ja \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) für \( x \ge 0 \)

Und die Verteilungsfunktion ist $$ \mathbb{P}\{ X \le x \} = F(x) = \int_0^x f(x) dx $$

Du hast aber $$ \mathbb{P}\{ X \lt 2 \} = F(x) = \int_0^x f(x) dx $$ hingeschrieben. Das ist falsch, es muss \( \le \) heissen.

Comments

Nein, die Beschreibung stimmt. Ich habe es jetzt verstanden. Es ist eine stetige Funktion (X = x) = 0 und daher können wir keinen genauen Wert angeben, daher ist (X<x) = (X <= x).

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Bei einer stetigen Funktion heisst es trotzdem $$ \mathbb{P}\{ X \le 2 \} = F(x) = \int_0^x f(x) dx $$ und nicht $$ \mathbb{P}\{ X \lt 2 \} = F(x) = \int_0^x f(x) dx $$