Zeigen Sie dazu (Äquivalenzklassen)

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 1.2 (Äquivalenzklassen). Die Stärke von Aäquivalenzklassen liegt darin eine Menge in mehrere Mengen zu unterteilen, die wir selbst als neue eigenständige Objekte benutzen können. Es sei im folgenden eine Äquivalenzrelation \( \sim \) auf einer Menge \( A \) gegeben. Zeigen Sie dazu
- Es seien \( a, b \in A \). Dann gilt entweder \( [a]_{\sim}=[b]_{\sim} \) oder \( [a]_{\sim} \cap[b]_{\sim}=\varnothing \).
- Jedes \( a \in A \) befindet sich in genau einer Äquivalenzklasse.

Answer 1

Angenommen \( [a]_{\sim} \cap[b]_{\sim}\neq \emptyset \).

Sei \(c\in [a]_{\sim} \cap[b]_{\sim}\).

Sei \(d\in [a]_\sim\). Dann ist \(d\sim a\sim c\sim b\) also \(d\sim b\) und somit \(d\in [b]_\sim\).