Drei Vektoren mit jeweils einen Parameter und den so bestimmen, dass sie linear abhängig sind?

Question

Ich hab folgende Aufgabenstellung: Für welche Werte des Parameters a sind die folgenden Vektoren linear abhängig?

Die Aufgabe, bei der ich nicht weiter weiß, Lautet wie Folgt: Der erste Vektor lautet: Parameter a für x (oder anders x1, aber wir haben es mit x, y, z bezeichnet), 0 für y (x2), 2 für z (x3). Der zweite Vektor lautet: 0 für x (x1), Parameter a für y (x2), 3 für z (x3). Der dritte Vektor lautet: Parameter a drei mal für x (x1), 1 für y (x2), 0 für z (x3).

Problem/Ansatz: Im Unterricht haben wir immer mit dem Gauss-Verfahren gearbeitet und bis jetzt hatte ich keine Probleme, aber bei der Aufgabe komme ich nicht auf das Ergebnis. Die Lösung ist angegeben mit a= - 0,5 oder/ und a=0.

Würde mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte. Am besten mit Rechenweg, damit ich es Nachvollziehen kann. Ich Entschuldige, dass ich die Aufgabe so umständlich beschrieben habe, anstatt mich mit den Tools auseinander zu setzen.

Comments

Hallo

bitte gib deine Vektoren als Zeilen ein also den ersten (a,0,2) dann (0,a,3) (3a,1,0)

dann hast du r*(a,0,2)+s(0,a,3)+t*(3a,1,0)=0 als

für die einzelnen Komponenten

r*a+    t*3a=0

   s*a+t  =0

2r+ 3s     =0

jetz versuchen das GS zu lösen für r,s,t das geht nicht für alle a also überlege für welche es geht.

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Oh Entschuldigung. Ich mach es meistens Komplizierter als es ist. Beim nächsten mal.
Ich konnte es durch Ihre Hilfe nun errechnen ^^
Vielen Dank

Answer 1

Du kannst ja auch überlegen: Wann sind sie lin. unabh.

also wann hat das Gl.system

ax + 0y + 3az =0

0x + ay + 1z = 0

2x + 3y + 0z = 0

nur die triviale Lösung x=y=z=0 ?

Für a≠0 kannst du jedenfalls

2* 1. Zeile minus a*3. Zeile rechnen und hast

ax + 0y + 3az =0

0x + ay + 1z = 0

0x - 3ay + 6az = 0

und dann 3* 2.Zeile + 3.Zeile

ax + 0y + 3az =0

0x + ay + 1z = 0

0x  +0y +(3+ 6a)  z = 0

Die letzte Gleichung besitzt für z von 0

verschiedene Lösungen, wenn a=-0,5 ist.

In dem Fall sind die gegebenen Vektoren

also lin. abhängig.

Dann hatte man oben a≠0 sagen müssen,

was passiert also bei a=0 ? Da hast du

0x + 0y + 0z =0

0x + 0y + 1z = 0

2x + 3y + 0z = 0

und man sieht (2) es muss zwar z=0 sein,

aber dann muss nur noch 2x + 3y=0

erfüllt werden, das geht z.B. mit x=3 und y=-2 ,

also sind auch im Falle a=0 die

Vektoren lin.abhängig.

Answer 2

Das ist also das Gleichungssystem?

ar + 0s + 3at =0

0r + as + 1t = 0

2r + 3s + 0t = 0

Ersetze die 3. Zeile, indem du vom a-fachen der dritten Zeile das Zweifache der ersten Zeile subtrahierst.

Wie lautet dann die neue dritte Zeile?

Comments

In der dritten Zeile würde nun 0ar+3as-6at=0 stehen? Außer ich versteh Sie falsch.

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richtig

weiter so

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Ich hab es rausbekommen ^^
Auch Ihnen vielen Dank für ihre Hilfe und ein schönen Restsonntag ^^