Zeigen Sie für alle x ∈ ℝ 0 dass x ln x +e >=2x

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für alle  x ∈ ℝ>0 dass
x ln x +e ≥ 2x

Problem/Ansatz:

Also meine Idee war dass ich ja erkenne das an beiden Seiten der Faktor x steht also reicht es zuzeigen dass

ln(x) >/≥2 (bin mir nicht sicher ob dass gleich wichtig ist) solange wir uns halt in dem Intervall befinden wo dass e wichtig ist (irgendwann wächst x ln(x) ja so schon stärker als 2x weshalb der Summand e wegfällt)

Ich steh nun also fest an dem Punkt dieses Intervall zu finden/definieren und daraus dann meinen vollständigen Beweis zu führen. Kann mir hier jemand helfen

Hier mal mein Beweis in LaTex falls jemand sich für die genaue Formulierung interessiert: (userpackage amssymb/amsmath)

Zum beweisen zerteile ich den Term in klar erkennbare Faktoren
$$ x\cdot(ln(x))+ \,e \geq 2\cdot x $$
Nun erkennt man dass sich auf beiden Seiten der Ungleichung $x$ einzelnd als Faktor befindet. Da $x\in\mathbb{R}_{0}$ ist also auch $x>0$ (D.h. $x_{min}=1$).\\
Sei x nun also ein nicht negativer Faktor ungleich 0 auf beiden Seiten des Terms, so reicht es zu zeigen dass $ln(x)> 2$ für alle x im Intervall

Kleiner Kommentar von mir zum Schluss, ich erkenne dass sich voll. Induktion hier anbietet, will aber wissen ob meine Idee auch funktionieren kann.

Answer 1

Das \( x \) kommt als Faktor nicht im linken Term vor. Was machst du mit dem \( \mathrm{e} \)?

Zeige, dass die Gerade \( g(x) =2x \) Tangente an einem bestimmten Punkt am Graphen von \( f(x) =x \ln(x) + \mathrm{e} \) ist und der Graph von \( f \) somit oberhalb der Tangente verläuft bis auf den Berührpunkt.

Alternativ: minimiere die Differenz \( f(x) - g(x) \) und zeige, dass dort ein globales Minimum ist.

Skizze hilft.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Definiere dir folgende Hilfsfunktion:$$h(x)=x\ln x+e-2x\quad\text{für }x>0$$Ihre erste Ableitung lautet:$$h'(x)=\left(\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}+e-2x\right)'=\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac1x}_{=v'}-2=\ln x-1$$Sie hat eine Nullstelle bei \(x=e\). Diese Nullstelle ist ein Kandidat für ein Extremum.

Zur Prüfung des Kandidaten \(x=e\) bilden wir die zweite Ableitung an dieser Stelle:$$f''(x)=\frac1x\implies f''(e)=\frac1e>0\implies\text{Minimum}$$

Die Hilfsfunktion \(h(x)\) hat also ihr Minimum bei \(x=e\), das heißt:$$h(x)\ge h(e)=e\cdot\ln e+e-2e=0$$Also ist \(h(x)\ge0\) und daher insbesondere:$$x\ln x+e\ge2x\quad\text{für }x>0$$

Comments

Es wäre wohl noch notwendig, zu zeigen, dass das ermittelte Minimum an keiner anderen Stelle x (mit x>0) unterschritten werden kann.

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Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar und die Definitionsmenge ist offen. Daher ist das gefundene lokale Minimum auch das globale Minimum. Randextrema existieren nicht.