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zeigen sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes


ln(x) < x-1


für alle x > 1
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Betrachte ln auf dem Intervall I = (1,x), x > 1.

Nach MWS existiert ein c aus I, so dass

$$f'(c) = \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = \frac{ln(x)}{x-1}$$

Es ist auch f'(c) = (ln(c))' = 1/c.

Also $$f'(c) = \frac{ln(x)}{x-1} = \frac{1}{c} \Leftrightarrow ln(x) \cdot c = x - 1$$

Da c > 1, ist nun $$ln(x) < x - 1$$.
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Von leicht anderer Frage:

Titel: Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes: ln(x) < x-1 für alle 0 < x

Stichworte: mittelwertsatz

Aufgabe:

zeigen sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes


ln(x) < x-1


für alle 0 < x

B)

Von Martin 2022 Version B.:

Titel: Zeigen Sie für 0 < x ln x < x − 1.

Stichworte: beweise

Aufgabe:

Zeigen Sie für 0 < x


ln x < x − 1.

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Das kann nicht gelingen, denn für x = 1 gilt offensichtlich ln(x) = x - 1.

Von Martin 2022 Version B.:

Titel: Zeigen Sie für 0 < x ln x < x − 1.

Stichworte: beweise

Aufgabe:

Zeigen Sie für 0 < x


ln x < x − 1.

Kann man es Lösen ohne den Mittelwertsatz?

Das geht auch ohne den Mittelwertsatz, wenn < durch ersetzt wird. Zeige dazu, dass
die Funktion h(x) = x - 1 - ln(x) an der Stelle x0 = 1 ein absolutes Minimum hat.

Frage existiert bereits
Die Fragen sind nicht identisch. Wenn man genau hinsieht erkennt man einen Unterschied.

Habe nun aus der neuen Fragestellung einen andern Strang eröffnet, bei der bereits bestehenden Frage. Also hier. Gruss
Warum nochmals? Bitte Geduld. Und nur eine Frage pro Fragestellung.

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