Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes: ln(x) < x-1 für alle x > 1

Question

zeigen sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes


ln(x) < x-1


für alle x > 1

Answer 1

Betrachte ln auf dem Intervall I = (1,x), x > 1.

Nach MWS existiert ein c aus I, so dass

$$f'(c) = \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = \frac{ln(x)}{x-1}$$

Es ist auch f'(c) = (ln(c))' = 1/c.

Also $$f'(c) = \frac{ln(x)}{x-1} = \frac{1}{c} \Leftrightarrow ln(x) \cdot c = x - 1$$

Da c > 1, ist nun $$ln(x) < x - 1$$.

Answer 2

Von leicht anderer Frage:

Titel: Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes: ln(x) < x-1 für alle 0 < x

Stichworte: mittelwertsatz

Aufgabe:

zeigen sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes


ln(x) < x-1


für alle 0 < x

B)

Von Martin 2022 Version B.:

Titel: Zeigen Sie für 0 < x ln x < x − 1.

Stichworte: beweise

Aufgabe:

Zeigen Sie für 0 < x

ln x < x − 1.

Comments

Das kann nicht gelingen, denn für x = 1 gilt offensichtlich ln(x) = x - 1.

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Von Martin 2022 Version B.:

Titel: Zeigen Sie für 0 < x ln x < x − 1.

Stichworte: beweise

Aufgabe:

Zeigen Sie für 0 < x

ln x < x − 1.

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Kann man es Lösen ohne den Mittelwertsatz?

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Das geht auch ohne den Mittelwertsatz, wenn < durch ≤ ersetzt wird. Zeige dazu, dass
die Funktion h(x) = x - 1 - ln(x) an der Stelle x₀ = 1 ein absolutes Minimum hat.

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Frage existiert bereits
Die Fragen sind nicht identisch. Wenn man genau hinsieht erkennt man einen Unterschied.

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Habe nun aus der neuen Fragestellung einen andern Strang eröffnet, bei der bereits bestehenden Frage. Also hier. Gruss

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Warum nochmals? Bitte Geduld. Und nur eine Frage pro Fragestellung.