Geometrische Reihe Aufgabe

Question

Aufgabe:

Einer will ein Ross verkaufen nach den Nägeln. Das Ross hat 4 Eisen, ein jegliches Eisen 8 Nägel, machen allenthalben 32 Nägel. So will er den ersten Nagel geben um einen Heller, den anderen um 2 Heller, den dritten um 4 Heller, den vierten um 8 Heller, den fünften um 16 etc. Allemal nach so teuer. Ist die Frage, wie teuer das Ross verkauft wird.

Problem/Ansatz:

Ich weiß man kann diese Aufgabe mit der geometrischen Reihe lösen. Dazu habe ich auch eine Lösung im Internet gefunden:

1. Nagel 2⁰; 2. Nagel 2¹; 3. Nagel 2²; 4. Nagel 2³; … ; 32. Nagel 2^32-1

Geometrische Reihe: 2⁰+2¹+2²+2³+⋯+2^n-1 = 2ⁿ-1

Also = 2⁰ + ... + 2^32-1 = 2³²-1 = (2¹⁰) * 2²-1 = 1024³ * 4-1 > (10³)³ * 4 > 4 * 10⁹

Hoffe vielleicht kann mir einer den Term erläutern bzw. erklären.

Answer 1

Wir addieren mal ein paar Zweierpotenzen.

1+2+4=7. Das ist fast die nächste Zweierpotenz, denn 7=8-1.

1+2+4+8=15. Das ist fast die nächste Zweierpotenz, denn 15=16-1.

1+2+4+8+16=31. Das ist fast die nächste Zweierpotenz, denn 31=32-1.

Die gleichen drei Aufgaben jetzt mal mit Potenzschreibweise:

\(2^0+2^1+2^2=2^3-1\)

\(2^0+2^1+2^2+2^3=2^4-1\)

\(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4=2^5-1\)

PS: Ich sehe erst jetzt den Fehler in deiner Zeile

Also = 2⁰ + ... + 2^32-1 = 2³²-1 = (2¹⁰) * 2²-1 = 1024³ * 4-1 > (10³)³ * 4 > 4 * 10⁹

Richtig ist
2⁰ + ... + 2^32-1 = 2³²-1 = (2¹⁰)³ * 2²-1

Answer 2

Formel: Summe = a0*(q^n-1)/(q-1)

a0= 1, q=2

Summe=  1*(2^n-1)/(2-1) = 2^n- 1