Seien [a, b] und [A, B] kompakte Intervalle in R und sei fn : [a, b] −→ [A, B] ⊂ R, n ∈ N

Question

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?
Danke im Voraus.

Text erkannt:

Seien $[a, b]$ und $[A, B]$ kompakte Intervalle in $\mathbb{R}$ und sei
$f_{n}:[a, b] \longrightarrow[A, B] \subset \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N},$
eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion $F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ konvergiert. Weiter sei $\varphi:[A, B] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion.
Man zeige: Die Folge der Funktionen
$g_{n}:=\varphi \circ f_{n}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N},$
konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion $G:=\varphi \circ F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$.

Answer 1

$\varphi$ ist stetig auf dem kompakten Intervall $[A,B]$ und ist somit gleichmäßig stetig. D.h.,

$\forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0\, \forall y,z \in [A,B]:$

$|y-z| < \delta \Rightarrow |\varphi(y) - \varphi(z)| < \epsilon$

Jetzt nimmst du $y = F(x)$ und $z=f_n(x)$ und nutzt aus, dass $f_n$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.

Bekommst du es jetzt hin?

Comments

Erstmal Danke für deine Antwort, das macht einiges einfacher, habe zwar immer noch leichter Schwierigkeiten, aber ich denke, dass ich auf dem richtigen Weg bin. Danke