Question

Sei [a, b] ein intervall mit a < b und seien f, g [a, b] -> R stetige Funktionen mit 

f(a) > g(a) und f(b) < g(b)

Beweisen Sie, das es ein x₀  ∈ (a, b) mit  f(x₀)  = g(x₀) gibt.

Soll das bedeuten dass x₀ eine Nullstelle ist und wenn es mehr als eine Nullstelle x₀  gibt dann ist dort f(x₀)  ≠ g(x₀) ? Oder ist x₀ ein Schnittpunkt von von f und g?

 

Answer 1

Soll das bedeuten dass x₀ eine Nullstelle ist und wenn es mehr als eine
Nullstelle x₀  gibt dann ist dort f(x₀)  ≠ g(x₀) ?   Nein !

Oder ist x₀ ein Schnittpunkt von von f und g?   Ja !, zumindest die x-Koordinate davon.


Und wenn f und g beide stetig auf [a;b] sind, dann auch ihre Differenz.  d(x) = f(x) - g(x).


Und wegen f(a) > g(a)   ist d(a) positiv und


entsprechend g(b) negativ und nach dem Zwischenwertsatz gibt es

dann in (a;b )   ein xo mit    d(x0) = 0


also f(xo) = g(xo) .

Answer 2

Hallo GGG,

> ... dass es ein x₀  ∈ (a, b) mit  f(x₀)  = g(x₀) gibt.

Das ist genau dann gegeben, wenn die Funktion g - f im Intervall ] a,b [ eine Nullstelle x₀ hat.

Wegen f(a) > g(a) und f(b) < g(b)   ist   g(a) - f(a)  negativ und g(b) - f(b) positiv.

Da g - f in  [a,b] stetig ist, hat g-f in ]a,b[ nach dem  Zwischenwertsatz  eine Nullstelle.

Gruß Wolfgang