Wink mit dem Zaunpfahl: Ist \(x\in\mathbb{Z}\) nicht durch \(3\) teilbar, dann ist \(x^2+2\) durch \(3\) teilbar. Wie du das beweist, ist dir überlassen, du hast ja nicht viele Informationen über deinen Wissensstand gegeben.
Die von dir oben erfragte Eigenschaft kann also nicht von all zu vielen Primzahlen erfüllt sein.