Berechnen Sie den Wert von d von der Ebene H

Question

Folgende Aufgabe: Ich habe 2 Ebenen und 1 Punkt, ich soll von der Ebene H den Wert d berechnen. Wie stelle ich das an?

\( \mathrm{P}(7,2|-3,4| 9,6) \)
\( F: \)  \( 3 x+4 y=8 \)
\( H: 3 x+4 y=d \) mit \( d \in \mathbb{R} \).

Comments

Da fehlen Angaben. Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Punkt und den Ebenen?

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Tut mir leid für die Fehlende Information. Ich habe die Aufgabe hiervon https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathe….

Ist die ganz letzte teilaufgabe.

Answer 1

Damit der Punkt in der Ebene liegt

d = 3·7.2 + 4·(-3.4) = 8

Ok Damit wissen wir das die Ebene F den Punkt enthält. Vermutlich ist jetzt noch gegeben welchen Abstand P von H oder von F haben soll.

Genauere Antwort unten im Kommentar, nachdem die Frage nachgebessert wurde.

Comments

Vielleicht sollte man einfach mal die Vervollständigung der Aufgabe abwarten, bevor man hier irgendetwas schreibt, was mit der Aufgabe nichts zu tun hat.

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Was heißt bitte kein Bezug zur Aufgabe. Ich habe immerhin erkannt, dass P auf F liegt. Und um einen Wert für d bestimmen zu können, müsste vermutlich noch ein Abstand gegeben sein. Jetzt weiß der Fragesteller vermutlich schon, was fehlt und kann danach Ausschau halten.

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Das muss man nicht erkennen, weil es sogar aus der Aufgabe hervorgeht, aber gut. Ich finde es ein wenig unsinnig, auf unvollständige Aufgaben zu antworten, wenn nicht zweifelsfrei klar ist, worum es geht.

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Gesucht ist die Ebene H, die Parallel zu F liegt und von F 4 Einheiten entfernt liegt, weil das Silo einen Durchmesser von 4 Meter besitzt. Wie das gemacht wird geht auch aus der Lösung hervor

In der Lösung wird also erstmal ein weiterer Punkt bestimmt der zu P einen Abstand von 4 Längeneinheiten auf dem Normalenvektor hat.

Dann wird dieser Punkt in die Ebene eingesetzt um d zu bestimmen.

Auszug:

Es handelt sich um die Begrenzungsfläche, die im Modell parallel zu F ist. Wegen \( \left|\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 0\end{array}\right)\right|=5 \) und \( \left(\begin{array}{c}7,2 \\ -3,4 \\ 9,6\end{array}\right)-4 \cdot \frac{1}{5} \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4,8 \\ -6,6 \\ 9,6\end{array}\right) \) liegt der Punkt \( (4,8|-6,6| 9,6) \) in \( \mathrm{H} \). Damit: \( d=3 \cdot 4,8-4 \cdot 6,6=-12 \)

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okay also die -4 sind dann die 4 Meter durchmesser, aber woher kommt dann die 1/5

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aber woher kommt dann die 1/5

Die Länge des Normalenvektors ist 5. Der Betrag wurde am Anfang der Lösung bestimmt. Wir teilen den Normalenvektor daher erstmal durch 5 damit er die Länge 1 hat und nehmen ihn dann mal 4 damit er die Länge 4 hat.

Ist das so klar?

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Achso, also der Normalenvektor wurde Normiert? Dann mal 4 genommen damit er in der Ebene liegt.

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Der Normalenvektor liegt nicht in einer Ebene sondern steht senkrecht auf der Ebene. Der Durchmesser des Silos steht ja auch senkrecht zur Ebene.

Es wird damit also der Punkt P' auf der gegenüberliegenden Seite des Silos vom Punkt P aus berechnet. Durch den Punkt P' geht dann die Ebene H.

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Du berechnest damit den von \(P\) gegenüberliegenden Punkt, derer Verbindung senkrecht zu den Ebenen \(F\) und \(H\) steht. Diese Verbindung muss wegen des Durchmesser die Länge 4 haben. Skizzen sind bei solchen Aufgaben goldwert!

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Ahhh, ja jetzt verstehe ich, vielen dank für eure Hilfe!

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Kein Problem. Wichtig ist ja nur, dass du es jetzt verstanden hast.

Wenn du auch schon eine Lösung einer Aufgabe hast, dann kannst du auch direkt Fragen was du dort nicht verstehst.

Da eine Skizze immer gut ist, könntest du dir selber auch mit Geogebra eine solche Skizze machen, die man dann im dreidimensionalen betrachten kann. Dort kann man dann auch die Ebenen E und F einzeichnen.

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F: 3x + 4y = 8

Es gibt übrigens 2 Ebenen, die parallel zu F liegen und von F den Abstand 4 haben. Das sind die Ebenen

E1: 3x + 4y = 8 + 4*√(3² + 4²) = 28 und

E2: 3x + 4y = 8 - 4*√(3² + 4²) = -12

Da der Ursprung zwischen den beiden Ebenen liegt, kannst du damit auch begründen, dass E2 die gewünschte Ebene ist.

Answer 2

Anhand der Ebenengleichungen kannst du schon erkennen, dass \(H\) parallel zu \(F\) ist. Um also \(d\) zu berechnen, brauchst du einen Punkt, der in \(H\) liegt. Diesen findest du bspw. sehr einfach, indem du den zu \(P\) gegenüberliegenden Punkt des Silos nimmst, senkrecht zur Ebene \(F\). Überlege dir, warum dieser Punkt in der zweiten Begrenzungsfläche liegen muss.

Comments

Wäre dass dan der Punkt d? Also die Ebene F ist ja dieses Fünfeck. D scheint für mich der Punkt zu sein der darauf senkrecht steht.

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Nein. Du kannst ja sehen, dass der Punkt D ganz offensichtlich nicht im Schatten des Silos liegt und somit auch nicht auf der Begrenzungsfläche des Schattens. Identifiziere erstmal diese Fläche, ggf. durch farbiges Hervorheben in der Abbildung.

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Also ist sogesehen die Ebene H die andere Seite des schattens?

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Ja, das folgt aus der Parallelität von \(F\) und \(H\). Ist klar, dass die Ebenen parallel sind?

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Ja, jetzt sehe ich es.