Hilfe bei dieser Aufgabe F(x)=1/4x4-1/4x3-2x2+3

Question

Geben Sie die Extremstellen von f F(x)=1/4x⁴-1/4x³-2x²+3x an und bestimmen Sie deren Art.

…

Problem/Ansatz:

Hallo, ich brauche hier echt Hilfe. In der Schule hatten wir das nicht. Nur die Extremstellen einer Funktion 4. Gerades...

Die Lösungen helfen mir leider auch nicht. Da wird gesagt das x1= -2, x2=3/4 und x3=2 ist.

Kann mir irgendwer das erklären und helfen? Ich hab echt Angst, schreibe Dienstag meine Mathe Prüfung....

Answer 1

f(x) = 1/4·x⁴ - 1/4·x³ - 2·x² + 3·x

Extremstellen: f'(x) = 0

f'(x) = x³ - 3/4·x² - 4·x + 3 = 0

Erste Nullstelle durch Probieren bei x = 2. Anschließende Polynomdivision bzw. Horner Schema

(x³ - 3/4·x² - 4·x + 3) / (x - 2) = x² + 5/4·x - 3/2

Weitere Nullstellen mit pq-Formel

x² + 5/4·x - 3/2 = 0 --> x = 3/4 ∨ x = -2

Alles sind einfache Nullstellen und damit wirkliche Extremstellen. Das globalverhalten der Funktion gibt die Reihenvolge von Tiefpunkt-Hochpunkt-Tiefpunkt vor.

Damit hat man alle Extremstellen (bei x = -2 (TP) ∨ x = 0.75 (HP) ∨ x = 2 (TP)) gefunden.

Comments

Vielen lieben Dank! Damit hast du mir sehr geholfen!

Liebe Grüße!

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An anderer Stelle sprach Gast hj2166 eine andere Art der Faktorisierung an, ohne Polynomdivision und Horner Schema. Meist wird das nicht gelehrt, hilft aber die Aufgabe schneller und einfacher zu lösen

f'(x) = x³ - 3/4·x² - 4·x + 3 = 0
f'(x) = 1/4·x²·(4·x - 3) - 4·x + 3 = 0
f'(x) = 1/4·x²·(4·x - 3) - 1·(4·x + 3) = 0
f'(x) = (1/4·x² - 1)·(4·x - 3) = 0
f'(x) = 1/4·(x² - 4)·(4·x - 3) = 0
f'(x) = 1/4·(x² - 2²)·(4·x - 3) = 0
f'(x) = 1/4·(x - 2)·(x + 2)·(4·x - 3) = 0

Bei Bedarf kannst du es dir mal ansehen und schauen, ob du das so verstehst. Besonders, weil du so keine Nullstelle raten musst. Allerdings können Taschenrechner helfen, eine Nullstelle zu raten. Entweder über eine Wertetabelle oder gleich durch eine kubische Lösungsformel.

Answer 2

Hallo,

diese Funktion hat auch den Grad 4.

Bilde die 1. Ableitung, setze sie gleich 0 und löse nach x auf. Wende das Horner-Schema oder die Polynomdivision an.

Setze deine Ergebnisse in die zwei Ableitung ein und entscheide, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

Gruß, Silvia

Answer 3

Das ist doch eine Funktion 4. Grades. Bilde erst einmal die Ableitung und setze sie gleich 0 (notwendige Bedingung). Dann leite ein zweites Mal ab und setze die Extremstellen ein, um zu prüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt (hinreichende Bedingung). Ggf. habt ihr das aber auch über das sogenannte Vorzeichenwechselkriterium mit Hilfe einer Wertetabelle für die erste Ableitung gemacht. Wo drückt also der Schuh genau? Das Vorgehen ist bei solchen Funktionen immer gleich, unabhängig davon, welchen Grad sie haben.

In der Aufgabe steht "angeben". Ist hier also der Einsatz eines GTR oder CAS erlaubt? Denn damit kannst du dann die Gleichung der notwendigen Bedingung lösen.

Comments

Es ist im Taschenrechner ohne CAS erlaubt.

Das man das ganze Null setzt ist ja noch verständlich. Auch das ich die extrempunkte in die 2. Gleichung einsetze... Ich muss nur verstehen wie ich auf die Extremstellen komme. Das hatten wir nie in der Schule so behandelt. Und das ist dass Problem. Ich weiß wie ich auf die extremstellen einer Funktion 3. Gerades komme, aber nicht 4. Gerades.

Ich hatte x ausgeklammert, aber das geht nicht. Und das mit der Wertetabelle hat sie und bei dem Taschenrechner auch nie gezeigt. Also die Lehrerin.

Trotzdem danke

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Bei der vorliegenden Aufgabe hilft es, 4·F'(x) = ax³+bx²+cx+d zu betrachten und zu erkennen, dass d/b = c/a ist.

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Die notwendige Bedingung ist bei allen Funktionen gleich.