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Aufgabe:

Man bestimme den Flächeninhalt der Fläche:

x(u,v)=(ucosvusinvv).........0u1....0v2pi\vec{x}(u,v)=\begin{pmatrix} ucosv\\usinv\\v \end{pmatrix}.........0\le u \leq1....0 \le v \le 2pi


Problem/Ansatz:

Wie löst man so etwas?

Bitte um Hilfe

LG

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Aloha :)

Bestimme zunächst das Flächenelementdf=xu×xvdudv=(cosvsinv0)×(usinvucosv1)dudv=(sinvcosvu)dudvd\vec f=\frac{\partial\vec x}{\partial u}\times\frac{\partial\vec x}{\partial v}\,du\,dv=\begin{pmatrix}\cos v\\\sin v\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-u\sin v\\u\cos v\\1\end{pmatrix}\,du\,dv=\begin{pmatrix}\sin v\\-\cos v\\u\end{pmatrix}\,du\,dv

Davon brauchen wir den Betrag:df=1+u2dudvdf=\sqrt{1+u^2}\,du\,dvum das Integral für die Fläche zu formulieren:F=Fdf=u=01  v=02π1+u2dudv=2πu=011+u2duF=\int_Fdf=\int\limits_{u=0}^{1}\;\int\limits_{v=0}^{2\pi}\sqrt{1+u^2}\,du\,dv=2\pi\int\limits_{u=0}^1\sqrt{1+u^2}\,du

Das verbliebene Integral kannst du mit der Substitution utanxu\coloneqq\tan x lösen oder mit partieller Integration. Ich finde partielle Integration hier einfacher:I(u)=1+u2du=1+u21+u2du=du1+u2+uu1+u2duI(u)=\int\sqrt{1+u^2}\,du=\int\frac{1+u^2}{\sqrt{1+u^2}}\,du=\int\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}+\int u\cdot\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\,duI(u)=arsinh(u)+u1+u211+u2du=I(u)\phantom{I(u)}=\operatorname{arsinh}(u)+u\cdot\sqrt{1+u^2}-\underbrace{\int1\cdot\sqrt{1+u^2}\,du}_{=I(u)}Das verbliebene Integral ist gleich dem Ausgansintegral, daher gilt1+u2du=12arsinh(u)+12u1+u2\int\sqrt{1+u^2}\,du=\frac12\operatorname{arsinh}(u)+\frac12u\sqrt{1+u^2}

Damit haben wir die Fläche FF bestimmt:F=2π[12arsinh(1)+1212arsinh(0)]F=2\pi\left[\frac12\operatorname{arsinh}(1)+\frac{1}{\sqrt2}-\frac12\operatorname{arsinh}(0)\right]F=2π(12ln(1+2)+12)7,2118\phantom F=2\pi\left(\frac12\ln(1+\sqrt2)+\frac{1}{\sqrt2}\right)\approx7,2118

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