Aloha :)
Bestimme zunächst das Flächenelementdf=∂u∂x×∂v∂xdudv=⎝⎛cosvsinv0⎠⎞×⎝⎛−usinvucosv1⎠⎞dudv=⎝⎛sinv−cosvu⎠⎞dudv
Davon brauchen wir den Betrag:df=1+u2dudvum das Integral für die Fläche zu formulieren:F=∫Fdf=u=0∫1v=0∫2π1+u2dudv=2πu=0∫11+u2du
Das verbliebene Integral kannst du mit der Substitution u : =tanx lösen oder mit partieller Integration. Ich finde partielle Integration hier einfacher:I(u)=∫1+u2du=∫1+u21+u2du=∫1+u2du+∫u⋅1+u2uduI(u)=arsinh(u)+u⋅1+u2−=I(u)∫1⋅1+u2duDas verbliebene Integral ist gleich dem Ausgansintegral, daher gilt∫1+u2du=21arsinh(u)+21u1+u2
Damit haben wir die Fläche F bestimmt:F=2π[21arsinh(1)+21−21arsinh(0)]F=2π(21ln(1+2)+21)≈7,2118