f ( x ) = 2 * x^3
ga ( x ) = a * x^2 - 1
Frage 1:
Bestimmen sie a so, dass sich die Grpahen beider Funktionen in einem Punkt berühren.
Definition Berührpunkt
f ( x ) = g ( x ) und
f ´( x ) = g ´( x )
2 * x^3 = a * x^2 - 1
1.Ableitung
f ´( x ) = 6 * x^2
g ´( x ) = 2 * a * x
f ´( x ) = g ´( x )
6 * x^2 = 2 * a * x
6 * x^2 = 2 * a * x | / x
6 * x = 2 * a
x = a /3
eingesetzt
2 * ( a /3 )^3 = a * ( a/3)^2 - 1
2 * a^3 / 27 = a^3 / 9 - 1 = ( a^3 - 9 ) / 9 | * 9
18 / 27 * a^3 = a^3 - 9
9 / 27 * a^3 = 9
a^3 = 27
a = 3
Frage 2: Nun gelte a=3
Berechnen Sie den Brührpunkt B sowie den Schnittpunkt S beider Graphen und geben sie die Funktionsgleichng der gemeinsamen Tangente an.
Schnittpunkt(e) :
f ( x ) = g(3) ( x )
2 * x^3 = 3 * x^2 - 1
Man sieht oder geraten x = 1
2 = 3 - 1
Polynomdivision:
( 2 * x^3 - 3 * x^2 + 1 ) : ( x - 1 ) = 2 x^2 - x - 1
( Beim Berechnen von 2 * x^2 - x - 1 = 0 mußt du irgendwo einen
Fehler gemacht haben )
x = 1
x = - 1/2
insgesamt
x = 1
x = 1
x = -1/2
Doppelte Nullstelle bei x = 1 : Berührpunkt.
Tangentengleichung
f ´( 1 ) = 6 * ^2 = 6 ( Steigung )
f ( 1 ) = 2
2 = 6 * 1 + b
b = -4
t ( x ) = 6 * x - 4
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mfg Georg
