Funktionen mit Parameter: f(x) -> 2x³, ga(x) -> ax²-1. Funktionen sollen sich berühren.

Question

Gegeben:

f(x) -> 2x³

ga(x) -> ax²-1

Frage 1:

Bestimmen sie a so, dass sich die Grpahen beider Funktionen in einem Punkt berühren.

Ich hab sie gleichgesetzt, aber hier weiß ich nicht mehr, wie ich weiter machen muss:

0=-2x³+ax²-1

Frage 2: Nun gelte a=3

Berechnen Sie den Brührpunkt B sowie den Schnittpunkt S beider Graphen und geben sie die Funktionsgleichng der gemeinsamen Tangente an.

Ich hab wieder gleichgesetzt:

0=-2x³+3x²-1

Dann hab ich Polynomdivision gemacht und dann die Mitternachtsformel benutzt.

bei mir kommt raus x1=1; x2=0 und x3=1/2

Aber wenn man von Berührpunkt spricht, muss doch eine doppelte NST dabei sein.

Findet ihr meinen Fehler?

Answer 1

f ( x ) = 2 * x³
ga ( x ) = a * x² - 1

Frage 1:
Bestimmen sie a so, dass sich die Grpahen beider Funktionen in einem Punkt berühren.

Definition Berührpunkt

f ( x ) = g ( x )  und
f ´( x ) = g ´( x )

2 * x³ = a * x² - 1

1.Ableitung
f ´( x ) = 6 * x²
g ´( x ) = 2 * a * x
f ´( x ) = g ´( x )
6 * x² = 2 * a * x

6 * x² = 2 * a * x  | / x
6 * x = 2 * a
x = a /3
eingesetzt
2 * ( a /3 )³ = a * ( a/3)² - 1
2 * a³ / 27 = a³ / 9 - 1 = ( a³ - 9 ) / 9  | * 9
18 / 27 * a³ = a³ - 9
9 / 27 * a³ = 9
a³ = 27
a = 3

Frage 2: Nun gelte a=3
Berechnen Sie den Brührpunkt B sowie den Schnittpunkt S beider Graphen und geben sie die Funktionsgleichng der gemeinsamen Tangente an.

Schnittpunkt(e) :
f ( x ) = g(3) ( x )
2 * x³ = 3 * x² - 1
Man sieht oder geraten x = 1
2 = 3 - 1
Polynomdivision:
( 2 * x³ - 3 * x² + 1 )  : ( x - 1 ) = 2 x² - x - 1
( Beim Berechnen von 2 * x² - x - 1 = 0 mußt du irgendwo einen
Fehler gemacht haben )
x = 1
x = - 1/2
insgesamt
x = 1
x = 1
x = -1/2
Doppelte Nullstelle bei x = 1 : Berührpunkt.

Tangentengleichung
f ´( 1 ) = 6 * ² = 6 ( Steigung )
f ( 1 ) = 2
2 = 6 * 1 + b
b = -4
t ( x ) = 6 * x - 4

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg 

Comments

Dankesehr!

Frage 1 versteh ich jetzt.. und bei Frage 2 hab ich mir wirklich nur bei der PD verrechnet. :)