Aloha :)
Die blauen Werte stammen aus dem Diagramm.
Die schwarzen Nullen sind die fehlenden Pfeile im Diagramm.
Dir roten Werte sind so berechnet, dass die Summe der von einem Knoten ausgehenden Werte gleich \(1\) ist: Das heißt die Summe der Elemente in jeder Spalte muss \(1\) sein.
$$A=\left(\begin{array}{c|ccc}& \stackrel{\text{von}}{A} & \stackrel{\text{von}}{B} & \stackrel{\text{von}}{C}\\\hline\stackrel{\text{nach}}{A} & \blue{0,5} & \blue{0,5} & \red{1,0}\\\stackrel{\text{nach}}{B} & \red{x} & 0 & 0\\\stackrel{\text{nach}}{C} & \red{0,5-x} & \red{0,5} & 0\end{array}\right)$$
Die erste Spalte ist nur bis auf eine Unbekannte \(x\) bestimmt.
Wir kennen jedoch den Fixvektor \(\vec g\), also denjenigen Vektor, der sich bei Anwenung der Übergansmatrix nicht ändert:$$A\cdot\vec g=\vec g\implies\begin{pmatrix}0,625\\0,625x\\0,625\cdot(0,5-x)+0,0625\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,625\\0,125\\0,25\end{pmatrix}$$
Wir lesen \(\pink{x=0,2}\) ab und haben die vollständige Übergangsmatrix gefunden:$$A=\left(\begin{array}{c|ccc}& \stackrel{\text{von}}{A} & \stackrel{\text{von}}{B} & \stackrel{\text{von}}{C}\\\hline\stackrel{\text{nach}}{A} & \blue{0,5} & \blue{0,5} & \red{1,0}\\\stackrel{\text{nach}}{B} & \green{0,2} & 0 & 0\\\stackrel{\text{nach}}{C} & \green{0,3} & \red{0,5} & 0\end{array}\right)$$
