Übergangsmatrix und Übergangsgraph?

Question

Aufgabe:

Wie bekomme ich hier die Übergangsmatrix und vervollständige den Graphen?

Mit gegebenen Fixvektor $\vec{g}$= $\begin{pmatrix} 0,625\\0,125\\0,25 \end{pmatrix}$

Text erkannt:

Fig. 2

Answer 1

Aloha :)

Die blauen Werte stammen aus dem Diagramm.

Die schwarzen Nullen sind die fehlenden Pfeile im Diagramm.

Dir roten Werte sind so berechnet, dass die Summe der von einem Knoten ausgehenden Werte gleich $1$ ist: Das heißt die Summe der Elemente in jeder Spalte muss $1$ sein.

$$A=\left(\begin{array}{c|ccc}& \stackrel{\text{von}}{A} & \stackrel{\text{von}}{B} & \stackrel{\text{von}}{C}\\\hline\stackrel{\text{nach}}{A} & \blue{0,5} & \blue{0,5} & \red{1,0}\\\stackrel{\text{nach}}{B} & \red{x} & 0 & 0\\\stackrel{\text{nach}}{C} & \red{0,5-x} & \red{0,5} & 0\end{array}\right)$$

Die erste Spalte ist nur bis auf eine Unbekannte $x$ bestimmt.

Wir kennen jedoch den Fixvektor $\vec g$, also denjenigen Vektor, der sich bei Anwenung der Übergansmatrix nicht ändert:$$A\cdot\vec g=\vec g\implies\begin{pmatrix}0,625\\0,625x\\0,625\cdot(0,5-x)+0,0625\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,625\\0,125\\0,25\end{pmatrix}$$

Wir lesen $\pink{x=0,2}$ ab und haben die vollständige Übergangsmatrix gefunden:$$A=\left(\begin{array}{c|ccc}& \stackrel{\text{von}}{A} & \stackrel{\text{von}}{B} & \stackrel{\text{von}}{C}\\\hline\stackrel{\text{nach}}{A} & \blue{0,5} & \blue{0,5} & \red{1,0}\\\stackrel{\text{nach}}{B} & \green{0,2} & 0 & 0\\\stackrel{\text{nach}}{C} & \green{0,3} & \red{0,5} & 0\end{array}\right)$$

Answer 2

Die Gewichte der abgehenden Kanten (Pfeile) eines Knotens müssen zusammen $1$ ergeben. Das genügt, um $BC$ und $CA$ zu bestimmen. Weiter kann man $AB=x$ setzen und damit muss $AC=0,5-x$ sein.

Comments

Aber wie kommt man jetzt auf die die Übergangsmatrix?..

Ich habe dies als Ansatz:

M= 0,5 0,5 1

a 0 0

0,5-a 0,5 0

Und für a=0,2 und b=0,3 raus

Was mache ich jetzt mit denen?..

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Was sind bei deinem Ansatz den $a$ und $b$?