0 Daumen
103 Aufrufe

Hallo! Angenommen wir haben eine Funktion f(t,u(t),p(t)).

Wir gehen davon aus, dass die differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen hier auch existieren. Es geht nicht um die Formalitäten.

Wir wollen nun die partielle Ableitung df/dp bestimmen.

Ich habe dafür 2 Lösungswege, aber bei dem einen taucht ein Minus auf, was theoretisch zu viel ist. Wo liegt mein Fehler?

1. Weg: Da alle Komponenten von t abhängen, ist t die einzige unabhängige Komponente. Dann ist \( \frac{df}{dp} =  \frac{df}{dt} \cdot \frac{dt}{dp} = \frac{\frac{df}{dt}}{\frac{dp}{dt}} \)

2. Weg: In der Ableitung df/dt kommt die partielle Ableitung df/dp vor, deswegen stellen wir um:

\( \frac{df}{dt} = \frac{df}{dt} \cdot \frac{dt}{dt} + \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dt}+ \frac{df}{dp} \cdot \frac{dp}{dt} = \frac{df}{dt} + \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dt}+ \frac{df}{dp} \cdot \frac{dp}{dt} \iff 0 =  \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dt}+ \frac{df}{dp} \cdot \frac{dp}{dt} \)


Umstellen nach df/dp liefert:

\( \frac{df}{dp} = \frac{\frac{-df}{du} \cdot \frac{du}{dt}}{\frac{dp}{dt}} = - \frac{\frac{df}{dt}}{\frac{dp}{dt}} \)

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Du unterscheidest nicht zwischen partieller Ableitung \(\partial\) und totaler Ableitung \(d\).

Die totale Ableitung \(\frac{df}{dt}\) der Funktion \(f(t,u(t),p(t))\) erhältst du, wenn du die Funktionsterme für \(u(t)\) und \(p(t)\) in die Funktionsgleichung einsetzt, sodass \(t\) als einzige Variable im Funktionsterm auftaucht. Diese Funktion kannst du dann nach der einzig verbliebenen Variablen \(t\) ableiten.

Du kannst dir das Einsetzen der Funktionsterme aber auch sparen und stattdessen die Kettenregel verwenden:$$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{du}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p}\cdot\frac{dp}{dt}+\frac{\partial f}{\partial t}$$

Bei deinem 1-ten Weg frage ich mich, was \(\frac{df}{dp}\) sein soll? Du kannst \(f\) nur partiell nach \(p\) ableiten.

Bei deinem 2-ten Weg ist das Problem, dass links die totale Ableitung \(\frac{df}{dt}\) steht und rechts die partielle Ableitung \(\frac{\partial f}{\partial t}\). Die beiden sind nicht gleich, daher ist deine Umformung, mit der Null auf der linken Seite falsch.

Avatar von 151 k 🚀

Tolle Erklärung. Hat mir sehr weitergeholfen. Ich bedanke mich vielmals!!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community