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Aufgabe:


Problem/Ansatz:

a)

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \)  \( \frac{k+1}{k2 +k-1} \)


konvergiert absolut, da sie durch eine Konvergenzprüfung mit dem Quotientenkriterium gezeigt werden kann. Da der Grenzwert des Quotienten der aufeinanderfolgenden Terme kleiner als 1 ist, konvergiert die Reihe absolut.

b)

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) \( \frac{(-1)k}{\sqrt{k(k+2)}} \)

konvergiert bedingt, da sie eine alternierende Reihe ist und die Bedingungen des Leibniz-Kriteriums erfüllt. Die Folge der Beträge der Terme ist monoton fallend und konvergiert gegen Null.

c)

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) (\( \frac{ak2+bk+c}{dk2+ek+f} \))k

hängt von den Werten der Konstanten a, b, c, d, e und fab. Wir können die Wurzelkriterium verwenden, um die Konvergenz dieser Reihe zu prüfen.Das Wurzelkriterium besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn der Grenzwert des k-ten Wurzels des Betrags des k-ten Terms kleiner als 1 ist. In diesem Fall wäre der k-te Term

| \( \frac{ak2+bk+c}{dk2+ek+f} \) | k

Wenn der Grenzwert des k-ten Wurzels dieses Terms kleiner als 1 ist, dann konvergiert die Reihe absolut. Wenn der Grenzwert größer als 1 ist, dann divergiert die Reihe. Wenn der Grenzwert gleich 1 ist, dann gibt das Wurzelkriterium keine Information, und wir müssen andere Methoden verwenden, um die Konvergenz zu prüfen.
Verhältniskriterium:

Das Verhältniskriterium besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn der Grenzwert des Verhältnisses aufeinanderfolgender Terme kleiner als 1 ist.

In diesem Fall wäre der k-te Term
(| \( \frac{ak2+bk+c}{dk2+ek+f} \) | )k Der (k+1)-te term wäre
(| \( \frac{a(k+1)2+b(k+1)+c}{d(k+1)2+e(k+1)+f} \) | )(k+1)

\( \frac{(| \( \frac{a(k+1)2+b(k+1)+c}{d(k+1)2+e(k+1)+f} \) | )(k+1)}{(| \( \frac{ak2+bk+c}{dk2+ek+f} \) | )k} \)

Wenn der Grenzwert dieses Verhältnisses, wenn k
gegen Unendlich geht, kleiner als 1 ist, dann konvergiert die Reihe absolut. Wenn der Grenzwert größer als 1 ist, dann divergiert die Reihe.

d)

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) \( \frac{(k!)2}{(2k)!} \)

konvergiert absolut. Dies kann durch eine Konvergenzprüfung mit dem Verhältniskriterium gezeigt werden. Der Grenzwert des Verhältnisses der aufeinanderfolgenden Terme ist kleiner als 1, daher konvergiert die Reihe absolut.

Avatar von

Wenn es bei (a) \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k+1}{k^2+k-1}\) heißen soll, liegt keine Konvergenz vor.

1 Antwort

0 Daumen

Hallo

dein a) ist falsch,

bei b musst du zeigen, dass die absolute Reihe divergiert

bei c) musst du eine Bedingung für a,d formulieren.

und natürlich in allen Fällen Wurzel oder Quotientenkriterium vorrechnen.

Gruß lul

Avatar von 107 k 🚀

kommt bei a raus, dass es eine gewöhnliche und absolute konvergenz ist?

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Hast du den richtigen post von Arsinoe nicht gelesen?

benutze z.B das Minorantenkriterium!

lul

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