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Aufgabe:

Wie lässt sich folgendes komplexe Wegintegral durch passende Homotopie der Ellipse berechnen?

\( \int\limits \)\( z^{p} \) dz

p ∈ ℤ

die Ellipse ist durch s(t)=ae^(it)+be^(-it) von 0 bis 2pi gegeben


Problem/Ansatz:

Die Ellipse als Homotopie aufschreiben

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Welche einfache, schöne, einfach schöne Kurve bietet sich denn wohl an, wenn man eine Ellipse deportiert?

Ein Kreis, d.h. ich nehme ein Kreis als Ausgangspunkt für meine stetige Abbildung, um bei best. Parameter eine Ellipse zu erhalten, dann setze ich statt des Weges für das Kurvenintegral die Abbildung ein, die Kreis und Ellipse verbindet?

Bzw. ich kann einen Kreis statt einer Ellipse nehmen, wenn ich zeige, dass diese homotop sind?

Letzteres ist die Aussage des Homotopie Satzes. Du musst jetzt entscheiden, ob von Dir erwartet wird, die Homotopie von Eiipse zu Kreis rechnerisch anzugeben ist oder ob dies als offensichtlich akzeptiert werden kann oder ob Ihr noch irgendwelche hilfreichen Sätze dafür habt....

Es soll vermutlich gezeigt werden, dass es eine stetige Abbildung gibt, die Ellipse und Kreis ineinander umformt, ich habe leider keine Idee wie diese aussehen kann. Ein Kreis ist ja einfach r*e^(it), dass heißt das b der Parameter der Ellipse irgendwie wegfallen muss für ein bestimmtes s, also für s=0 Kreis und für s=1 Ellipse oder umgekehrt.

1 Antwort

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Ich benutze hier zur Vereinfachung der Rechnung oBdA \(a>b>0\). Beide größer \(0\) da wir sonst keine echte Ellipse haben, \(a\neq b\) aus dem gleichen Grund, und \(a>b\) weil wir sonst die Kurve einfach rückwärts laufen können, das Integral wie unten errechnen und das Vorzeichen des Ergebnisses invertieren.

Du musst erst einmal überhaupt untersuchen, wie deine Ellipse geometrisch aussieht aus der Formel heraus, nur so kannst du mögliche Homotopien angeben. Wir erinnern uns, dass Ellipsen affine Bilder von Kreisen sind.

Wir rechnen mal in Real- und Imaginärteil aus:

$$\mathfrak{Re}(s(t))=a\cos(t)+b\cos(-t)=(a+b)\cos(t),\\ \mathfrak{Im}(s(t))=a\sin(t)+b\sin(-t)=(a-b)\sin(t).$$

Deine Ellipse ist also einfach nur der Einheitskreis, der an der reellen Achse um den Faktor \(a+b\) und an der Imaginären Achse um den Faktor \(a-b\) gestreckt wurde. Das sind auch die Größen der Haupt- und Nebenachse. Wenn also z.B. \(a=5,b=3\), dann hast du eine Ellipse mit Schwerpunkt im Ursprung, reeller Hauptachse mit Größe \(8\) und imaginärer Nebenachse mit Größe \(2\).

Wenn \(b=0\), sind Haupt- und Nebenachse gleich \(a\), wir hätten also einen Kreis mit Radius \(a\). Eine mögliche Homotopie wäre also \(H(t,l)=ae^{it}+ble^{-it}\). Wir haben aus obiger Überlegung, dass \(H_1\) unsere Ellipse ist und \(H_0\) der Kreis mit Radius \(a\) um den Ursprung. Rein anschaulich wird der Kreis genommen und an einer Achse auseinandergezogen und an der anderen zusammengedrückt, bis unsere Ellipse entsteht.

Diese Homotopie geht nie über den Ursprung, das ist sehr wichtig, denn das wäre die einzige Singularität, die \(f(z)=z^p\) überhaupt haben kann. Ansonsten ist unser \(f\) unabhängig von \(p\) in ganz \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\) holomorph.

Jetzt wissen wir, dass das Integral über deine Ellipse gleich dem Integral über den Kreis mit Radius \(a\) ist. Nach dem Cauchy-Integralsatz müssen wir also das gleiche Kurvenintegral haben. Jetzt könnte man den Radius auch stetig kleiner machen (beliebig klein, was für jeden noch so kleinen Radius mit einer Homotopie zu bewerkstelligen ist), und bekommt also das gleiche Ergebnis wie ihr wahrscheinlich in der Vorlesung mit Kreisen durchgekaut habt: \(0\) für \(p\neq -1\) und \(2\pi i\) für \(p=-1\).

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Danke für die ausführliche Antwort, besteht eigentlich auch die möglich statt des Weges, die Funktion H(t,l) einzusetzen und im Nachhinein, l=0 oder 1 zu setzen?

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