Hallo,
ich verstehe leider nicht , wie man diese beiden Phasenporträts skizziert, ohne dafür ein Programm wie Python benutzen zu müssen. Wie geht man bei sowas vor? Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Danke
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Betrachten Sie das reduzierte SIR-Modell (mit \( \beta=1 \) und \( \gamma=3 \) ),
\( S^{\prime}=-S I, \quad I^{\prime}=S I-3 I \)
Skizzieren Sie das Phasenportrait dieses Systems, d.h. skizzieren Sie auf der Teilmenge \( [0,5]^{2} \subset \mathbb{R}^{2} \) das Vektorfeld \( (-S I, S I-3 I) \), und zeichnen Sie ein paar Lösungstrajektorien ein. Was kann man aus Ihrer Skizze über das Langzeitverhalten \( t \rightarrow \infty \) aussagen?
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Skizzieren Sie für \( \left(u_{0}, v_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{0\} \) das Phasenporträt für das System
\( \left\{\begin{array}{ll} u^{\prime}(t)=u(t)-v(t)-u(t) \sqrt{u(t)^{2}+v(t)^{2}}, & t>0, \\ v^{\prime}(t)=u(t)+v(t)-v(t) \sqrt{u(t)^{2}+v(t)^{2}}, & t>0, \\ u(0)=u_{0}, \quad v(0)=v_{0} . & \end{array}\right. \)
Führen Sie hierzu Polarkoordinaten \( u(t)=r(t) \cos (\phi(t)), v(t)=r(t) \sin (\phi(t)) \) ein und leiten Sie Differentialgleichungen für die Funktionen \( r(t) \) und \( \phi(t) \) her. Lesen Sie daran das qualitative Verhalten der Lösungen \( (u(t), v(t)) \mathrm{ab} \).
