0 Daumen
358 Aufrufe
Gegeben ist die Funktion f: f(x) = e^-x

a) Zeigen Sie, dass die Normale an Kf im Punkt P(1/f(1)) die x-Achse and der Stelle x0= 1 - (1/e²) schneidet
von

1 Antwort

0 Daumen

f ( x ) hat an der Stelle x = 1 die Steigung

f ' ( 1 ) = - e - 1

Damit hat die Normale die Steigung - 1 / f ' ( 1 ) =  1 / e - 1  = e

Die Geraden mit dieser Steigung haben die Gleichung:

y = e x + b

Für den y-Achsenabschnitt b derjenigen dieser Geraden, die durch den Punkt  ( 1 | e - 1 ) verläuft, gilt:

e - 1 = e * 1 + b

<=> b = e - 1 - e 

Somit lautet die Geradengleichung der Normalen:

y = e x + e - 1 - e

Wenn diese Normale die x-Achse an der Stelle x0 = 1 - 1 / e 2 = 1 - e - 2 schneidet, dann muss sich beim Einsetzen dieser Stelle in die Geradengleichung der Normalen der Wert y = 0 ergeben, also Einsetzen:

y = e * ( 1 - e - 2 ) + e - 1 - e

= e * 1 - e * e - 2 + e - 1 - e

= e - e - 1 + e - 1 - e

= 0

Damit ist der geforderte Nachweis erbracht.

von 32 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
Hay es gibt noch Teil b) Bestimmen sie die Gleichung einer Tangente an Kf die durch den Punkt Q(0/-1) verläuft.
Ich habe y= -x -1 raus bin mir aber nicht so recht sicher ob das stimmt.

Danke schonmal im Voraus

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...