Für welche Startwerte konvergiert Newton-Verfahren gegen Nullstelle 0?

Question

Aufgabe:

Newton Verfahren.

$$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \  x \rightarrow \frac{x}{1+x^2} $$

Die Funktion hat genaue eine Nullstelle bei 0.

Für welche Startwerte konvergiert das Newton-Verfahren gegen die Nullstelle 0?

Problem/Ansatz:

Wie kann man das bestimmen? Gibt es da ein Kriterium? Ich finde immer nur, dass man "genügend nahe" bei der Nullstelle starten muss. Aber das reicht ja offensichtlich nicht. Und alle Werte ausprobieren geht ja schlecht, wenn es unendlich viele gibt.

Answer 1

Frag dich mal für welches x, ist der Nachfolgewert genauso weit von der Nullstelle entfernt wie.

Ich nehme also mal an x > 0

x = |x - f(x)/f'(x)| --> x = √3/3

Skizze

~plot~ x/(x^2 + 1);(3x+3^(1/2))/8;(3x-3^(1/2))/8;x=-3^(1/2)/3;x=3^(1/2)/3;[[-1|1|-0.5|0.5]] ~plot~

Comments

Danke, das macht Sinn.

Ich würde es gerne auch nachrechnen und komme da auf folgendes:

$$x = |x-\frac{f(x)}{f'(x)}| \\ x = |x-\frac{\frac{x}{1+x^2}}{\frac{-x^2 + 1}{(x^2+1)^2}}| \\ x = |x-\frac{x \cdot (x^2+1)^2}{(-x^2 + 1)(1+x^2)}| \\ x = |x-\frac{x \cdot (x^2+1)}{-x^2 + 1}| \\ x = |\frac{x \cdot (-x^2 + 1)}{-x^2 + 1}-\frac{x \cdot (x^2+1)}{-x^2 + 1}| \\ x = |\frac{-x^3 + x}{-x^2 + 1}-\frac{x^3+x)}{-x^2 + 1}| \\ x = |\frac{-x^3 + x -x^3 - x}{-x^2 + 1}| \\ x = |\frac{-2x^3 }{-x^2 + 1}| $$

Und da ist √3/3 keine Lösung wenn ich richtig gerechnet habe. Weißt du wo mein Fehler bei der Rechnung sein könnte?

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Und da ist √3/3 keine Lösung wenn ich richtig gerechnet habe. Weißt du, wo mein Fehler bei der Rechnung sein könnte?

Mach doch mal die Probe und setzte in die letzte Gleichung auf der rechten Seite √3/3 ein und schau mal was heraus kommt.

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x = 2·x^3/(1 - x^2)
x·(1 - x^2) = 2·x^3
x - x^3 = 2·x^3
3·x^3 - x = 0
x·(3·x^2 - 1) = 0

x = 0

3·x^2 - 1 = 0
3·x^2 = 1
x^2 = 1/3
x = ± √(1/3) = ± √(3/9) = ± √3/3