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Aufgabe:

Sei p > 1, f(x) ∈ Cp+1 ([a,b]) und in ξ ∈ [a,b] liege eine isolierte p-fache Nullstelle von f vor.

a) Für die Iterierte xn (mit xn ≠ ξ) des Newton Verfahrens gilt
\( \frac{ xn+1 - ξ }{ xn - ξ } \) = 1 - \( \frac{φ(xn)}{p*φ(xn) + (xn - ξ) * φ'(xn)} \).

Begründen Sie, weshalb das Newton Verfahren hier nicht quadratisch konvergiert.


b) Das modifizierte Newton Verfahren

xn+1  = xn - p \( \frac{f(xn)}{f'(xn)} \)

konvergiert quadratisch.


Problem/Ansatz:

a) i)Da in ξ eine p-fache Nullstelle vorliegt, gilt: f(x) = (x-ξ)p * φ(x)

Wenn man das einsetzt, kommt man schnell auf das, was zu zeigen ist.

ii) Wenn (xn - ξ) gegen 0 geht, steht dort 1 - \( \frac{φ(xn)}{p* φ(xn)} \) = 1 - \( \frac{1}{p} \), was für p > 1 keine quadratische Konvergenz bedeutet.

b) Bei der b komme ich auf kein Ziel.

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