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Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert von: lim x->0 (6(ln(1+x)+ln(1+2x))/(x^2)


Problem/Ansatz:

Da der Grenzwert [0/0] ist, kann man L´Hospital anwenden.

Nach L´Hospital ergibt sich: (8+14x)/(2x(2x^2+3x+1)). Der Grenzwert ist hier [8/0], aber durch 0 ist nicht definiert.
Stehe ich auf dem Schlauch oder existiert der Grenzwert dann nicht?

Hilfe dringend benötigt.

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Wäre vielleicht gut, zunächst die Klammern korrekt zu setzen, und zu überprüfen, ob die Aufgabe im Original tatsächlich so lautet.

Oder einfach einen Screenshot der Aufgabe hochladen.

lim x->0 \( \frac{6(ln(1+x)+ln(1+2x))}{x^2} \) = [\( \frac{0}{0} \)]

= lim x->0 \( \frac{8+14x}{2x(2x^2+3x+1)} \) = [\( \frac{8}{0} \)]

besser?

Wir müssen den grenzwert mit l´hospital bestimmen.

Ein praktischer Hinweis: Die Ablitung des Zählers braucht nicht zusammengefasst werden. Man kann sie direkt auswerten.

2 Antworten

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\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{6(ln(1+x)+ln(1+2x))}{x^2} \)

----------------------------------------

\(Z=6[ln(1+x)+ln(1+2x)]\)

\(Z'=6[\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+2x}]=\frac{6}{1+x}+\frac{12}{1+2x}=\frac{18+24x}{(1+x)(1+2x)}\)

\(N=x^2\)

\(N'=2x\)

\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{6(ln(1+x)+ln(1+2x))}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{18+24x}{2x(1+x)(1+2x)}=∞\)


Unbenannt.JPG

Avatar von 38 k

\(\lim\limits_{x\to 0}...=\infty\) stimmt nicht.

Es wäre günstig, wenn man sieht, dass der Nenner bei x = 0 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat.

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Du hast fast richtig gerechnet. Der Grenzwert existiert nicht, dazu muss man aber genauer hinschauen: \(\lim\limits_{x\to 0+} \frac{6(4x+3)}{2x(2x^2+3x+1)}=\infty\) und \(\lim\limits_{x\to 0-} \frac{6(4x+3)}{2x(2x^2+3x+1)}=-\infty\).

Das sind auch die entsprechenden Grenzwert für die Ausgangsfunktion, denn die Regel von l'H gilt auch für einseitige Grenzwerte.

Avatar von 8,0 k

\(\lim\limits_{x\to 0+} \frac{8+14x}{2x(2x^2+3x+1)}=\infty\)

\(\lim\limits_{x\to 0-} \frac{8+14x}{2x(2x^2+3x+1)}=-\infty\)

Hier stimmen die Zähler nicht!

Danke, ist korrigiert.

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