Ableitung Trigonometrische Funktionen umwandeln

Question

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\( \begin{array}{l}f^{\prime \prime}(x)=\frac{\frac{4 \sin (x) \cdot\left(1-\frac{1}{2} \sin (x)\right)}{2 \cdot \sqrt{1-\frac{1}{2} \sin (1)}}-\frac{(\cos (x))^{2}}{2 \cdot \sqrt{1-\frac{1}{2} \sin (x)}}}{4 \cdot\left(1-\frac{1}{2} \sin (x)\right)} \\ f^{\prime \prime}(x)=\frac{4 \sin (x) \cdot\left(1-\frac{1}{2} \sin (x)\right)-(\cos (x))^{2}}{\left.8 \cdot\left(1-\frac{1}{2} \sin (x)\right)\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left(1-\frac{1}{2} \sin (4)\right)^{1}} \\ f^{\prime \prime}(x)=\frac{\left.4 \sin (x)-2 \sin (x))^{2}\right)-1+(\sin (x))^{2}}{8 \cdot\left(1-\frac{1}{2} \sin (x)\right)^{\frac{3}{2}}} \\ (\cos (x))^{2}+(\sin (x))^{2}=1 \\ (\cos (x))^{2}=1-(\sin (x))^{2} \\ f^{\prime \prime}(x)=\frac{4 \sin (x)-(\sin (x))^{2}-1}{8 \cdot\left(1-\frac{1}{2} \sin (x)\right)^{\frac{3}{2}}} \\ f^{\prime \prime}(x)=\frac{\sin (x) \cdot(4-\sin (x))-1}{8 \cdot\left(1-\frac{1}{2} \sin (x)\right)^{\frac{3}{2}}}\end{array} \)

Hallo,

In folgender Lösung verstehe ich die in rot markierten Schritte nicht. Werden hier die Theoreme eingesetzt? Wie weiß ich wie weit ich den Term mit trigonometrischen Funktionen umformen muss?

LG

Answer 1

Aloha :)

Hier wurden im Zähler die beiden Klammern ausmultipliziert und im letzen Summanden der trigonometrische Pythagoras verwedendet:

$$\phantom=4\sin(x)\cdot\left(\red1\green{-\frac12\sin(x)}\right)-\blue{\cos^2(x)}$$$$\phantom=4\sin(x)\cdot\red1\green-4\sin(x)\cdot\green{\frac12\sin(x)}-\left(\blue{1-\sin^2(x)}\right)$$$$\phantom=\red{4\sin(x)}-\green{2\sin^2(x)}-\blue1+\blue{\sin^2(x)}$$

Jetzt kannst du noch die beiden Sinus-Quadrat-Terme zusammenfassen:$$\phantom=4\sin(x)-\sin^2(x)-1$$