Funktionen: Defintionsbereich, Polstelle, hebbare Definitionslücke, Asymptot

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die folgende gebrochen-rationale Funktion
f(x) = (x³ + 3x)/(x² − x)
a) den Definitionsbereich
b) evtl. vorhandene Polstellen und hebbare Definitionslücken
c) die Gleichung der Asymptot

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe in der ich den defintiotnsbereich, evtenuelle Polstelle, Defintitonslücke und die Gleichung der Asymptote bestimmen soll.

Zum Defintionsbereich habe ich folgenden Lösung:
f(x) = (x³ + 3x)/(x² − x)

=> = x² -x=0 => x*(x-1)
=> x=0

=> (x-1) = 0 I +1
=> x=1

D=R \ {0,1}


Weiter komme ich leider nicht. Ich hoffe mir kann jemand bei den Aufgaben weiterhelfen :)

Danke im Voraus!

VG

Comments

Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren:

f(x) = x*(x² +3) / ( x*(x-1) ) =_D (x² +3) /(x-1) [dein D ist richtig]

Lässt sich ein Faktor im Nenner vollständig wegkürzen, ergibt dessen Nullstelle eine stetig behebbare Definitionslücke. Dort hat der Graph ein "Loch", ansonsten stimmt er mit dem Graph des gekürzten Bruchs überein.

die weiteren Nullstellen des Nenners sind Polstellen

Answer 1

Aloha :)

zu a) Definitionslücken$$f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2-x}=\frac{x^3+3x}{x\cdot(x-1)}$$Für $x=0$ oder $x=1$ wird der Nenner zu Null. Da Division durch Null nicht definiert ist, müssen wir diese beiden Argumente aus dem Definitionsbreich herausnehmen:$$\mathbb D=\mathbb R\setminus\{0;1\}$$Das hast du richtig gemacht$\quad\checkmark$

zu b) Polstellen und hebbare Lücken

Eine hebbare Lücke kann (muss aber nicht) nur dort vorliegen, wo Zähler und Nenner zugleich Null werden. Das ist hier für $x=0$ der Fall. Wir können im Zähler und im Nenner den Faktor $x$ ausklammern und anschließend wegkürzen. $$f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2-x}=\frac{x\cdot(x^2+3)}{x\cdot(x-1)}=\frac{x^2+3}{x-1}$$

In den verbliebenen Funktionsterm können wir dann tatsächlich $x=0$ einsetzen und den potentiellen Funktionswert $f(0)=-3$ ermitteln, der die Lücke schließt.

Bei $x=0$ liegt daher eine druch die Festlegung $f(0)\coloneqq-3$ hebbare Lücke vor.

Wenn der Nenner Null und der Zähler ungleich Null ist, liegt eine Polstelle vor. Das ist für $x=1$ der Fall. An der Stelle $x=1$ liegt also eine Polstelle vor.

zu c) Asymptote

Zerlege den Funktionsterm in ein Polynom und eine gebrochen rationale Funktion, die für $x\to\pm\infty$ verschwindet:$$f(x)=\frac{x^3+3x}{x^2-x}=\frac{x(x^2+3)}{x(x-1)}=\frac{x^2\pink{+3}}{x-1}=\frac{(x^2\pink{-1})\pink{+4}}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}+\frac{4}{x-1}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\frac{4}{x-1}=x+1+\frac{4}{x-1}$$

Das Polynom $a(x)\coloneqq(x+1)$ ist die gesuchte Asymptote.

Alternativ zu der gezeigten Zerlegung kannst du auch eine Polynom-Division durchführen und solltest dann auch den Term $(x+1)$ als Asymptote erhalten.

~plot~ (x^3+3x)/(x^2-x) ; x+1 ; {0|-3} ; x=1 ; [[-10|10|-15|15]] ~plot~

Answer 2

b)

x³+3x = x(x²+3)

x²-x = x(x-1)

kürzen mit x

(x²+3)/(x-1)

x= 0 ist hebbare Lücke

f(0) = -3

Pol bei x= 1

c) Polynomdivision

x³+3x :(x² -x ) = x+1+ 2x/(x²-x)

Asymptote: y = x+1