Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von W^\perp .

Question

In \( V = \mathbb{R}^4 \) sei \( W \) der von \( \mathbf{u} = (1, 0, -1, 2)^\top \) und \( \mathbf{v} = (2, 0, 2, -1) \) aufgespannte Unterraum. Weiter sei \( W^\perp \) der zu \( W \) orthogonale Unterraum (bezüglich des Standardskalarprodukts). Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von \( W^\perp \).

Answer 1

hallo

da ums Lin. unabhängig also W 2d ist sit auch W senkrecht 2 d, und 2 Vektoren senkrecht zu u und v kannst du wohl finden?

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für Ihre Anleitung

Für \( \mathbf{u} = (1, 0, -1, 2)^\top \):
\( \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = w_1 - w_3 + 2w_4 = 0 \)

Für \( \mathbf{v} = (2, 0, 2, -1)^\top \):
\( \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 2w_1 + 2w_3 - w_4 = 0 \)

\(\dim(W) = 2 \)

eine mögliche Basis von \( W^\perp \):
\( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

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Der angegebene Vektor erfüllt doch Deine Gleichungen nicht?

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Kein Interesse an einer richtigen Antwort?

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Hier dachte ich, dass es potenziell mehrere Basen geben könnte, daher dachte ich, dass es ausreichen würde, eine zu schreiben und dass ich schon eine richtige Antwort gefunden hätte *-*

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So wie Du das schreibst, habe ich den Verdacht, dass Du den Begriff "Basis" noch nicht verstanden hast. Wenn es so ist, wirst Du wohl eine halbe Stunde aufwenden müssen, um das in Deinem Lehrmaterial (oder tausendfach im WEB) nachzulesen.

Jedenfalls hast Du doch in Deinem Kommentar 2 Gleichungen aufgeschrieben, die ein \(w \in W^{\perp}\) erfüllen muss, nämlich \(v\cdot w=0, u \cdot w=0\). Der von Dir angegeben Vektor erfüllt keine dieser Gleichungen.

Aus den - preisgekrönten - Antwort von lul ist zu entnehmen, dass Du 2 linear unabhängige Lösungen finden musst.

Also: Suche Lösungen dieses Gleichungssystems