Grundlagen mit euklidischen Vektorräumen

Question

Eine alte Aufgabe:

Gegeben ist der R-Endomorphismus f: R^2 -> R^2.

Definiert als f(x,y) = (x+y,x) = (x,x) + (0,y)

Ich soll die Mengen f^-1(span(e1)), f^-1(span(e2)) und f^-1(R^2) bestimmen.

Meine Idee:

f^-1(span(e1)) = {(x,y) : (x+y,x) = (x, 0)} = {(0,0)}

da die Gleichheit nur für (x,y) = (0,0) erfüllt ist.

f ist surjektiv, da f durch die Matrix (1 1, 1 0) beschrieben ist und diese Rang 2 hat, was ja Dimension des Bildes von f ist, wodurch wegen der Dimension 2 vom Bild und der Tatsache das das Bild Teilmenge des Zielraumes R^2 ist, Bild(f) = R^2 gilt.

Also gilt Bild(f) = f(R^2) = R^2 =>

f^-1(R^2) = R^2.

Was ist aber mit f^-1(span(e2) ?

Also meine Vermutung ist, das es auch der Nullraum ist, denn (x+y,x) = (0, y) ist doch auch nur für den Nullvektor erfüllt, oder irre ich mich?

Answer 1

Aloha :)

Schreibe den Endomorphismus mit Hilfe seiner Abbildungsmatrix \(A\):$$\binom{x}{y}\mapsto\binom{x+y}{y}=x\binom{1}{0}+y\binom{1}{1}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}}_{\eqqcolon A}\binom{x}{y}$$

Die Inverse einer 2x2-Matrix bekommst du, indem die Elemente auf der Hauptdiagonalen vertauschen und die Elemente auf der Nebendiagonalen ihr Vorzeichen wechseln. Schließlich muss noch durch die Determinante der Matrix dividiert werden. Daher ist die inverse Abbildung:$$A^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\end{array}\right)$$

Die Abbildung \(f\) ist also sogar ein Automorphismus (=bijektiver Endomorphismus).

Damit sind auch die Umkehrungen klar:$$f^{-1}(\operatorname{span}(\vec e_1))=f^{-1}\left(\binom{x}{0}\right)=\binom{x}{0}=\operatorname{span}(\vec e_1)$$

$$f^{-1}(\operatorname{span}(\vec e_2))=f^{-1}\left(\binom{0}{y}\right)=\binom{-y}{y}=\operatorname{span}(\vec e_2-\vec e_1)$$

$$f^{-1}(\mathbb R^2)=\mathbb R^2\quad\text{(da \(f\) invertierbar)}$$

Comments

Die letzte Bemerkung (hilfsweise die Aufgabenstellung) ist insofern irreführend, als mit \(f^{-1}(A)\) mit einer Menge A i.allg. Die Urbildmenge gemeint ist. Für eine Abbildung \(f: X\to Y\) ist dann das Urbild von Y trivialerweise gleich X.

---

Danke, das macht jetzt auf jeden Fall mehr Sinn! :)

Answer 2

Deine Def. enthält einen Widerspruch, ich gehe jetzt mal von (x+y,x) aus.

Urbilder bestimmt man, wie immer, aus den jeweiligen Gleichungen.

Löse also \(f(x,y)=(a,0)\) bzw. \(=(0,b)\) bzw. \(=(a,b)\) nach \((x,y)\) auf. Falls möglich.

Dann siehst Du auch, dass Dein Ergebnis für span(e1) nicht stimmt.

Das geht alles ohne Matrizen/Rang/Dimension.

Comments

Aber kann ich anstatt a nicht x oder y schreiben?

---

Nein, weil diese Namen ja vergeben sind. Man gibt sich ein beliebiges Element y aus der Bildmenge vor, und sucht das Urbild x: Schule: Löse f(x)=y. Genauso hier in 2d.

---

Stimmt. Danke dir!