Zeigen Sie: Für alle f, g ∈ F gilt f ∗ g = g ∗ f.

Question

Aufgabe:

Sei F = { f ∈ C(ℝ,ℝ) : ∃ T ∈ ℝ ∀ t ∈ ℝ \ [−T, T ] : f (t) = 0}. Zeigen Sie:
a) Für alle f, g ∈ F gilt f ∗ g = g ∗ f .
b) Für alle f, g, h ∈ F gilt f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h.
c) Für alle f, g, h ∈ F gilt f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h.
Folgt daraus, dass F zusammen mit + und ∗ einen kommutativen Ring bildet?

Problem/Ansatz:

Ich habe zwar eine Lösung, aber ich glaube, dass ich das viel zu vereinfacht habe. Bei a) habe ich f * g =f(g(t))=g(f(t))=g*f. Stimmt das?

Comments

Mit * scheint nicht die Verkettung von Funktionen gemeint zu sein. Sonst würde die Behauptung unter a) nicht stimmen.

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Sonst würde die Behauptung unter a) nicht stimmen.

Was sich leicht durch ein Gegenbeispiel zeigen ließe. Ich hab mich auch gewundert.

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Vielleicht wäre es zumutbar, einen Blick ins Lehrmaterial zu werfen, um zu klären, wie die "Sternoperation" definiert ist?

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Probier es doch mal mit der Faltung. Diese wird üblicherweise mit dem \(\star\)-Operator bezeichnet.

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Danke, mit Faltung ergibt es jetzt Sinn!

Answer 1

f * g =f(g(t))

Begründe warum das gilt.

f(g(t))=g(f(t))

Begründe warum das gilt.

g(f(t))=g*f

Begründe warum das gilt.

Answer 2

Probiere mal f(t) = t+1, g(t) = t².