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Aufgabe: Sicherheitsabstand von Flugzeugen

Ein Sportflugzeug A und ein Transportflugzeug B befinden sich jeweils auf geradlinigem Flug. Im Koordinatensystem (Angaben in 1 km) des Flughafens werden die Positionen zum Zeitpunkt 0 und dann 6 Minuten später festgehalten:

Sportflugzeug A: Ort zum Zeitpunkt 0: (0,4,2); Ort zum Zeitpunkt 6 Minuten: (20,-6,2)

Transportflugzeug B: Ort zum Zeitpunkt 0: (3,0,3); Ort zum Zeitpunkt 6 Minuten: (3,50,-7)

Damit Flugzeuge sicher aneinander vorbei fliegen können muss ein Sicherheitsabstand von 1,5km eingehalten werden.

1a) Erläutern Sie die Berechnung des minimalen Abstandes der Flugzeuge.

1b) Beurteilen Sie, ob der Sicherheitsabstand eingehalten wird.

2) Abstandsbestimmungen zwischen zwei windschiefen Geraden können auch als Extremwertproblem der Analysis gelöst werden. Beschreiben Sie das Lösen von Extremwertproblemen.
Problem/Ansatz:

Hallo,

und zwar verstehe ich die ganze Aufgabe nicht und bräuchte unbedingt Hilfe. Mir sind die Begriffe neu und dachte, dass ich die Antwort hier am ehesten bekommen würde und hoffentlich dann verstehen werde. Ich wäre sehr dankbar wenn mir bei der ganzen Aufgabe ausführlich geholfen werden könnte.

Vielen Dank im Voraus

Lg

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Um es klarer zu machen: Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe 1a) und zwar weiß ich nicht welche Formel ich brauche und wie geht man dort Schritt für Schritt voran, also was sind die Schritte, um den minimalen Abstand herauszubekommen.

und bei der Aufgabe 2) brauche ich Hilfe und zwar wie die Schritte sind, um ein Extremwertproblem zu lösen

Aufgabe 1b) kann ignoriert werden


Ich danke im Voraus

Du könntest noch etwas schreiben zur Rückfrage von Mathecoach nach dem Vorzeichen der Koordinate -7.

Mein Mathelehrer meinte, dass es so richtig ist und man denken solle, dass der Flugzeug sich über einer Bergspitze befindet. Sprich in der Mathematik sind die Werte egal.

3 Antworten

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Es geht um den Abstand zweier windschiefer Geraden. Das kann man bspw. auch im Internet recherchieren. Wenn dann etwas unklar ist, kann man auch konkrete Fragen stellen.

Vorgehen:

1. Es gibt eine Formel für den Abstand, die man anwenden kann. Das ist davon abhängig, ob das im Unterricht besprochen wurde.

2. Man erstellt eine Hilfsebene, in der eine der Geraden liegt und die andere Gerade verläuft parallel zu dieser Ebene. Diese Hilfsebene hat folglich als Normalenvektor einen Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht. Dann kann man mit dem Lotfußpunktverfahren den Abstand der Hilfsebene von der parallelen Geraden bestimmen. Das Verfahren wurde sicherlich im Unterricht vorgestellt.

3. Extremwertproblem: Man stelle beide Positionen der Geraden allgemein mit dem Parameter dar und bildet den Verbindungsvektor in Abhängigkeit des Parameters. Von diesem Vektor berechnet man ebenfalls in Abhängigkeit des Parameters die Länge und minimiert diese (Berechnung eines Tiefpunktes).

4. Gleichungssystem: Man bildet wie in 3. den Verbindungsvektor zwischen den Geraden. Der Abstand ist genau dann minimal, wenn der Verbindungsvektor auf beiden Geraden senkrecht steht. Das heißt dieser Vektor muss orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren der Geraden sein. Mit Hilfe des Skalarproduktes erhält man damit zwei Gleichungen, so dass man die beiden Parameter bestimmen kann.

Edit:

Bei Aufgabe 1a) geht es um den minimalen Abstand der Flugzeuge nicht der Flugbahnen. Das muss man tatsächlich über den Verbindungsvektor wie in Punkt 3 beschrieben machen. Es ist darauf zu achten, dass der Parameter dann bei beiden Flugzeugen die gleiche Zeit darstellt. Das ist hier gegeben.

Bei Aufgabe 1b) kann man zusätzlich den Abstand der beiden Flugbahnen bestimmen. Das geht dann auch mit den anderen Verfahren. Wenn der Abstand dann größer als der Sicherheitsabstand ist, dann ist dieser sogar immer garantiert, unabhängig von der Geschwindigkeit der Flugzeuge. Das ist aber nicht nötig, wenn man vorher schon den minimalen Abstand der Flugzeuge berechnet hat.

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Danke für die Antwort!

Wie lautet denn die Formel für den geringsten Abstand?


Lg

\(d=\frac{|(\vec{p}-\vec{q})\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\). Dabei sind \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) die Stützvektoren und \(\vec{n}\) der Normalenvektor dazu.

Es geht um den Abstand zweier windschiefer Geraden.

Das ist Unsinn. Lies die Frage richtig:

1a) Erläutern Sie die Berechnung des minimalen Abstandes der Flugzeuge.

Erst in Aufgabe 1c geht das um den Abstand windschiefer Geraden.

Ich habe die Aufgabe richtig gelesen.

1. Die Geraden SIND windschief.

2. Suggeriert Aufgabe 2) bereits, dass es so ist, denn der erste Satz besagt, dass man den Abstand solcher Geraden auch als Extremwertproblem auffassen kann.

Der minimale Abstand zweier Flugzeuge auf zwei Geraden kann als Extremwertproblem der Analysis betrachtet werden.

Das gilt auch grundsätzlich für den Abstand zweier Geraden. Auch der kann als Extremwertproblem betrachtet werden.

Trotzdem ist Aufgabe 1 etwas anderes als 2. Das sollte dir klar sein.

Und trotzdem geht es hier um den Abstand zweier windschiefer Geraden. Sowohl in Aufgabe 1 als auch in Aufgabe 2. Die gängigen Verfahren dafür habe ich aufgelistet. In Aufgabe 1 sollte man natürlich den Nachweis noch erbringen, dass die Geraden tatsächlich windschief sind.

Und trotzdem geht es hier um den Abstand zweier windschiefer Geraden.

Ok. Dann lass den Abiturienten mal so rechnen und durch die Prüfung fallen.

Habe jetzt das Problem erkannt, welches du meintest. Habe das entsprechend in der Antwort ergänzt. Sorry.

was ist p und was ist q und was ist n ?

bzw. was soll ich dort einsetzen ?

Das habe ich dort geschrieben. Das sind die Stützvektoren der Geraden. Und der Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Stützvektoren. Das lässt sich bspw. mit dem Kreuzprodukt berechnen. Und zu den einzelnen Verfahren findest du Beispiele im Netz. Etwas mehr Eigeninitiative bitte.

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Sportflugzeug A: Ort zum Zeitpunkt 0: (0,4,2); Ort zum Zeitpunkt 6 Minuten: (20,-6,2)

Transportflugzeug B: Ort zum Zeitpunkt 0: (3,0,3); Ort zum Zeitpunkt 6 Minuten: (3,50,-7)

Befindet sich das Transportflugzeug nach 6 Minuten schon 7 km unter der Erde. Lass dir mal die Koordinaten bestätigen.

Avatar von 485 k 🚀

In der Aufgabe steht ebenfalls: Im Koordinatensystem des Flughafens. Nirgends steht, dass die z-Koordinate dabei die Höhe über dem Meeresspiegel ist. Wer weiß, was für ein seltsames Koordinatensystem der Flughafen benutzt und welche Koordinate da tatsächlich die Höhe angibt!

Wenn hier also einer die Aufgabe bitte genau lesen sollte, dann du.

Eine Antwort auf die Frage ist das übrigens auch nicht.

Eine Antwort auf die Frage ist das übrigens auch nicht.

Es bringt nichts wenn man jetzt ne Frage beantwortet und in der Fragestellung sollte das durch einen Tippfehler 7 statt -7 lauten.

Ein Schüler sollte gegebene Sachen hinterfragen und nicht einfach wie ein dummes Kind übernehmen.

Dafür gibt es dann aber die Kommentarfunktion.

Ich kann hier, damit es dich beruhigt, auch noch Kontroll-Lösungen liefern. Das der Abstand der Fluggraden etwa 488 m beträgt, das der Abstand der Flugzeuge allerdings mit 1,6 km den Sicherheitsabstand einhält.

Mir sind die Begriffe neu und dachte, dass ich die Antwort hier am ehesten bekommen würde und hoffentlich dann verstehen werde.

Vielleicht sagst du noch ganz kurz welche Fachbegriffe, die in der Aufgabe verwendet werden, du nicht verstehst. Dann könnte man dort auch gerne weiterhelfen.

Folgende Begriffe: Extremwertproblem

Und zudem wollte ich fragen, ob ihr genauere Rechenwege für mich habt, denn ich kann irgendwie nichts mit den Erklärungen anfangen, weil ich es so nicht verstehe.

Vielen lieben Dank im Voraus

Bei einem Extremwertproblem soll etwas möglichst groß oder möglichst klein werden. Du solltest den Begriff aus der Analysis kennen, bei dem Funktionen auf Hoch und Tiefpunkte untersucht werden, weil das die höchsten und kleinsten Funktionswerte in einer Umgebung sind.

Erinnerst du dich an den letzten Sommer, wo es so extrem heiß war. Weißt du auch noch an welchem Tag das war und wie groß dort die Temperatur war? Wenn nicht, ist das nicht so wichtig. Aber ich denke, jetzt ist klar, was gemeint ist.

Erläutern Sie die Berechnung des minimalen Abstandes der Flugzeuge.

Man soll hier also die Zeit t suchen, zu der die Flugzeuge den kleinsten Abstand haben. Und dann auch noch den minimalen Abstand bestimmen.

Um das zu tun, bestimmt man erstmal eine Funktion, die den Abstand der beiden Flugzeuge zu einem bestimmten Zeitpunkt t angibt. Da ein Wurzelausdruck etwas blöd zu untersuchen ist, kann man auch das Quadrat des Abstandes untersuchen. Denn wenn das Quadrat des Abstandes am kleinsten ist, dann ist es auch der Abstand selber.

Stell also mal die Funktion für den quadrierten Abstand der beiden Flugzeuge auf.

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Die Lösung zum Extremwertproblem des Flugzeugabstands findest Du hier.

Wenn es um den Geradenabstand geht, dann entferne "in r=s" aus der Eingabe.

Es wird jeweils die euklidische Distanz zwischen zwei Punkten auf je einer der Geraden minimiert.

r = s weil beide Flugzeuge ihren Richtungsvektor in derselben Zeit zurücklegen.

Avatar von 44 k

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