Hier kommt man mit einem Potenzreihenansatz gut weiter.
Ziel ist es dabei, eine Funktion zu finden, deren Potenzreihe die ak als Koeffizienten hat.
Dass das möglicherweise eine gangbare Idee ist, siehst du daran wenn du die Rekursion umschreibst:
(k+2)(k+1)ak+2=14(k+1)ak+1−49ak(1)
(1) sieht doch sehr danach aus, dass eine Potenzreihe ein- bzw. zweimal abgeleitet wurde. Also hoffen wir
y(x)=k=0∑akxk(2)
Jetzt leitest du (2) ein- bzw. zweimal ab und machst passende Indexverschiebungen (wir wollen ja die Koeffizienten gleicher Potenzen zusammenfassen) und erhältst:
y′′=14y′−49y⇔
y′′−14y′+49y=0 mit y(0)=a0=0,y′(0)=a1=5(3)
Diese DGL (3) ist einfach zu lösen und Einsetzen der Anfangsbedingungen ergibt:
y(x)=5xe7x(4)
(4) können wir mit der e-Reihe sofort in eine Potenzreihe umschreiben:
y(x)=5x∑k=0∞k!(7x)k=∑k=0∞5⋅k!7kxk+1=...
...=k=1∑∞=ak5⋅(k−1)!7k−1xk