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Gesucht ist die Gleichung einer Funktion 4. Grades, deren zweite Ableitungsfunktion durch f´´(x) = x² - 4 gegeben ist. Der Graph von f hat auf der Ordinatenachse ein relatives Maximum und schneidet die Abszissenachse bei x = -2
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f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

f'(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d

f''(x) = 12ax2 + 6bx + 2c

f'''(x) = 24ax + 6b

 

f''(x) = x2 - 4 | => 12a = 1; 6b = 0; 2c = -4 | a = 1/12 ; b = 0 ; c = -2

 

f(x) = 1/12 * x4 - 2x2 + dx + e

f'(x) = 1/3 * x3 - 4x + d

f''(x) = x2 - 4

f'''(x) = 2x

 

f'(0) = 0 | => d = 0

f(-2) = 0 = 16/12 - 8 + e |

e = -16/12 + 96/12 = 80/12 = 20/3

 

f(x) = 1/12 * x4 - 2x2 + 20/3

 

 

Besten Gruß

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