Wohldefiniertheit einer Relation

Question

Ich habe leider ein großes Problem damit zu zeigen, dass eine Abbildung wohldefiniert ist.

wie fange ich hier explizit an um zu zeigen dass die Relation

[(p1,q1)] < [(p2,q2)] <=> p1*q2< p2*q1

wohldefiniert ist?

Text erkannt:

(b) Definiere die Relation ' $<$ ' auf $\mathbb{Q}=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{+} / \sim$ durch die Regel
- $\left[\left(p_{1}, q_{1}\right)\right]<\left[\left(p_{2}, q_{2}\right)\right]$ genau dann, wenn $p_{1} \cdot q_{2}<p_{2} \cdot q_{1}$.

Zeigen Sie, dass diese Relation wohldefiniert ist und $\mathbb{Q}$ zu einem geordneten Körper macht.

Comments

Du hast in Deinem Text für die Definition der Relation das Zeichen ~ benutzt. Ist Dir klar, dass das falsch ist?

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Ja das war unbedacht, da soll natürlich „<„ stehen

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Ist repariert.

Answer 1

Es ist zum Beispiel

        $[(1,2)] = [(3,6)]$ und $[(5,7)] = [(10,14)]$.

Wenn '$<$' wohldefiniert wäre, dann müsste

        $[(1,2)] < [(5,7)]$

wegen

        $1\cdot 7 < 2\cdot 5$

sein. Somit wäre dann auch

        $[(3,6)] < [(10,14)]$.

Wäre nun

        $3\cdot 14 \not < 6\cdot 10$,

dann wäre

        $[(3,6)] \not< [(10,14)]$

und '$<$' wäre nicht wohldefiniert.

dass diese Relation wohldefiniert ist

Du musst zeigen, dass aus

        $p_{1} \cdot q_{2}<p_{2} \cdot q_{1}$

die Ungleichung

        $p'_{1} \cdot q'_{2}<p'_{2} \cdot q'_{1}$

für jeden Repräsentanten $(p'_1,q'_1)\in [(p_1,q_1)]$ und jeden Repräsentanten $(p'_2,q'_2)\in [(p_2,q_2)]$ folgt.

und $\mathbb{Q}$ zu einem geordneten Körper macht.

Du musst zeigen, das die Relation '$<$' die an die Ordnungrelation gestellten Eigenschaften erfüllt, also dass es eine starke Totalordnung ist, die verträglich mit der Addition und der Multiplikation ist.

Comments

Vielen Dank, ich habe gerade mal angefangen den Beweis aufzuschreiben, komme aber noch nicht wirklich weiter,

Zusatzinfo: in Aufgabe A hatten wir gezeigt, dass (p1,q1)~(p2,q2) <=> p1q2 = p2q1 eine Aquivalenzrelation auf Z x Z+ definiert

Ansatz bisher:

Sei (p1,q1) < (p2,q2) => p1q2 < p2q1

Und (p1‘,q1‘) < (p2‘,q2‘) => p1‘q2‘ < p2‘q1‘

Ferner folgt aus a:

(p1,q1)~(p2,q2) <=> p1q2 = p2q1

(p1‘,q1‘)~(p2‘,q2‘) <=> p1‘q2‘ = p2‘q1‘

z.z. p1q2<p2q1 => p1‘q2‘ < p2‘q1‘

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Wenn Du Dir Deine beiden letzten Zeilen anschaust, siehst Du doch direkt, dass das nicht funktionieren kann.

Folge der Antwort von Oswald und überlege, was

$$(p_1',q_1') \in[(p_1,q_1)]$$

bedeutet.

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Seien $[(p_1,q_1)], [(p_2,q_2)]\in \mathbb{Q}$ mit

(1)        $p_1q_2 < p_2q_1$.

Seien $(p'_1,q'_1)\in [(p_1,q_1)]$ und $(p'_2,q'_2)\in [(p_2,q_2)]$.

Zu zeigen ist

(2)        $p'_1q'_2 < p'_2q'_1$.

Wegen $(p'_1,q'_1)\in [(p_1,q_1)]$ ist

        $(p_1,q_1)\sim(p'_1,q'_1)$

also

(3)        $p_1q'_1 = p'_1q_1$.

Analog dazu ist

(4)        $p_2q'_2 = p'_2q_2$.

Forme die Ungleichung (1) unter Verwendung von (3) und (4) so um, dass (2) entsteht.

Dazu wirst du die Kürzungsregel

        $ab < ac \wedge 0 < a \implies b < c$

für ganze Zahlen $a$, $b$ und $c$ oder Vergleichbares benötigen.