Transformationsmatrix für Basiswechsel A -> B

Question

Aufgabe:

Gegeben ist Basis A = $\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$; $\begin{pmatrix} 0\\0\\-1 \end{pmatrix}$; $\begin{pmatrix} 0\\sin(\alpha)\\cos(\alpha) \end{pmatrix}$ und Basis B = $\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$; $\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$; $\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$.

Gesucht ist die Transformationsmatrix A -> B

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Problem/Ansatz

Gegeben habe ich eine Lösung C = $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/tan(\alpha) & 1/sin(\alpha) \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ und weiß nicht wie man darauf kommt. Wenn es keine mathematische Lösung gibt, kann es sein, dass ich einen physikalischen Zusammenhang übersehen habe. Es würde mir schon helfen, wenn ich das wüsste.

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Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich weiß auch nicht, wie man auf die dir bekannte Lösung kommt, sie ist nämlich falsch. Das richtige Ergebnis ist die transponierte Matrix von deiner Lösung.

Die Transformationsmatrix $T$ soll die Basis $A$ in die Basis $B$ überführen. Das liefert uns 3 Gleichungen:$$\red{T\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad;\quad \blue{T\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad;\quad T\cdot\begin{pmatrix}0\\\sin\alpha\\\cos\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Durch die Multiplikation der Matrix $\red{T}$ mit dem Vektor $\red{(1;0;0)^T}$ wird die erste Spalte der Matrix $T$ ausgewählt und diese soll gleich $\red{(1;0;0)^T}$ sein:$$T=\left(\begin{array}{rrr}\red 1 & t_{12} & t_{13}\\\red 0 & t_{22} & t_{23}\\\red 0 & t_{32} & t_{33}\end{array}\right)$$

Durch die Multiplikation der Matrix $\blue{T}$ mit dem Vektor $\blue{(0;0;-1)^T}$ wird die letzte Spalte der Matrix $T$ ausgewählt und negiert. Das Ergebnis soll $\blue{(0;1;0)^T}$ sein:$$T=\left(\begin{array}{rrr}\red 1 & t_{12} & \blue0\\\red 0 & t_{22} & \blue{-1}\\\red 0 & t_{32} & \blue0\end{array}\right)$$

Jetzt kennen wir die Matrix $T$ schon fast und können die letzte Gleichung ausrechnen:$$T\cdot\begin{pmatrix}0\\\sin\alpha\\\cos\alpha\end{pmatrix}=\sin\alpha\cdot\begin{pmatrix}t_{12}\\t_{22}\\t_{33}\end{pmatrix}+\cos\alpha\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\implies$$$$\begin{pmatrix}t_{12}\cdot\sin\alpha\\t_{22}\cdot\sin\alpha-\cos\alpha\\t_{33}\cdot\sin\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}t_{12}\\t_{22}\\t_{32}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[1ex]\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\\[1ex]\frac{1}{\sin\alpha}\end{pmatrix}$$

Damit haben wir als Übergangsmatrix gefunden:$$T=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\[1ex]0 & \frac{1}{\tan\alpha} &-1\\[1ex]0 & \frac{1}{\sin\alpha} & 0\end{array}\right)$$

Alternativ zu dem genannten Vorgehen, kannst du die 3 Gleichungen auch zu einer Matrix-Gleichung zusammen:$$T\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 0 & \sin\alpha\\0 & -1 & \cos\alpha\end{array}\right)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

Offensichtlich erhalten wir dann $T$ als die inverse Matrix zu derjenigen, die die Basisvektoren von $A$ als Spalten enhält:$$T=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 0 & \sin\alpha\\0 & -1 & \cos\alpha\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\[1ex]0 & \frac{1}{\tan\alpha} & -1\\[1ex]0 & \frac{1}{\sin\alpha} & 0\end{array}\right)$$

Comments

Aloha! Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Der Grund für das Transponieren muss dann wohl einen physikalischen Hintergrund haben. Konkret geht es um Geschwindigkeitsmessungen und der Hersteller des Geräts gibt diese Matrix an. Mit Messungen validiert ist sie auch bereits.... Dann muss ich wohl nochmal den Hersteller fragen.