Erstmal ist n überladen. In der Definition von Nilpotenz kann n verschiedene Werte annehmen. Andererseits ist n als Dimension des Vektorraums fix. Ob das so in der Aufgabenstellung ist, weiß ich nicht. Auf jeden Fall würde nur so Aufgabenteil d) Sinn machen. Nilpotenz an sich ist aber etwas allgemeineres als das.
a) Ok, wenn du auf dem Übungszettel mehr schreibst als das klar. Irgendwo musst du schon sagen, dass Körper im Allgemeinen nullteilerfrei sein müssen.
b) Ist ein gutes Argument, ginge auch anders aber passt so.
c) Stimme ich nicht mit überein. Das Argument wirkt ziemlich all over the place. Es gibt f mit f2=0 aber f=0, z.B. Mf=(0010).
Etwas "Metagaming", was dir als Vibecheck helfen kann, warum dein Argument so nicht ziehen kann: Wenn 0 die einzige nilpotente Matrix wäre (was du ja irgendwie zeigst), wär der Begriff für Mathematiker doch nicht so interessant oder?
Besser wäre es zu zeigen: Ist ein fk=0 mit k≤n−1, dann ist fn−1=0, also eher "nach oben" folgern als "nach unten", indem du einfach f anwendest bis du "oben" bist.
d) Erst einmal klären, welches der beiden n's gemeint ist! Die Aussage klappt so nur, wenn beide n's die gleichen sind. Stimme ich auch nicht mit dem Argument überein, da es nicht reicht, dass fk=0 für k<n. Woher weißt du denn aus fk=0, dass nicht zum Beispiel fk−fk−2−2f+3⋅id=0 gilt? Da muss ein stärkeres Argument für gemacht werden meiner Meinung nach.
Ich würde hier nutzen: Da 0 der einzige Eigenwert von f ist, liegen alle Eigenwerte in K, es existiert also eine Jordan-Normalform Jf. Diese muss Nullen in der Diagonale haben und darf Einsen dadrüber haben. Jetzt ist aber das kleinste k, sodass fk=0, die Größe des größten Jordanblocks von Jf. Da dieses k genau n ist, muss also Jf aus einem 0-Jordanblock der Größe n bestehen. Mf ist also ähnlich zu J(0,n)=⎝⎛0010…01…0⋱…⎠⎞. Das hat offensichtlich als Minimalpolynom xn, da wir ja nur einen Jordanblock der Größe n haben.
e) Argument scheint richtig in der Idee, finde ich aber etwas zu unsauber formuliert, um da einen Haken dran zu machen. Edit: Außerdem gilt die Aussage nicht für jedes x mit f(x)=0. Ich vermute, du hast das wichtige Detail weggelassen, dass es ein x sein muss, sodass fn−1(x)=0, dessen Existenz als gegeben vorausgesetzt werden kann.